函数的凹凸性

凹凸性的基本概念

函数的凹凸性是描述函数图像弯曲方向的重要性质，它反映了函数在不同区间的变化特征。

凹函数 (Concave)

图像向下弯曲，任意两点连线在图像下方

凸函数 (Convex)

图像向上弯曲，任意两点连线在图像上方

凹函数与凸函数

凹函数（Concave Function）

定义：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对于任意 $x_1, x_2 \in I$ 和任意 $\lambda \in [0,1]$，都有：

$$f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$$

则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹函数。

几何意义：函数图像向下弯曲，任意两点间的连线都在函数图像下方。

凸函数（Convex Function）

定义：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对于任意 $x_1, x_2 \in I$ 和任意 $\lambda \in [0,1]$，都有：

$$f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$$

则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数。

几何意义：函数图像向上弯曲，任意两点间的连线都在函数图像上方。

凹凸性的判定方法

二阶导数法

定理 1

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，则：

1. 如果 $f''(x) > 0$ 在 $I$ 上成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数
2. 如果 $f''(x) < 0$ 在 $I$ 上成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹函数

一阶导数法

定理 2

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，则：

1. 如果 $f'(x)$ 在 $I$ 上单调递增，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数
2. 如果 $f'(x)$ 在 $I$ 上单调递减，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹函数

常见函数的凹凸性

二次函数

对于 $f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）：

• 当 $a > 0$ 时，$f''(x) = 2a > 0$，函数为凸函数
• 当 $a < 0$ 时，$f''(x) = 2a < 0$，函数为凹函数

指数函数

对于 $f(x) = e^x$：

• $f'(x) = e^x > 0$，单调递增
• $f''(x) = e^x > 0$，凸函数

对数函数

对于 $f(x) = \ln x$（$x > 0$）：

• $f'(x) = \frac{1}{x} > 0$，单调递增
• $f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$，凹函数

幂函数

对于 $f(x) = x^n$：

• 当 $n > 1$ 时，$f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$
  • 当 $x > 0$ 时，$f''(x) > 0$，凸函数
  • 当 $x < 0$ 且 $n$ 为偶数时，$f''(x) > 0$，凸函数
  • 当 $x < 0$ 且 $n$ 为奇数时，$f''(x) < 0$，凹函数

应用例子

例子 1：判断函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的凹凸性。

解：

• $f'(x) = 3x^2 - 6x$
• $f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$
• 当 $x < 1$ 时，$f''(x) < 0$，函数为凹函数
• 当 $x > 1$ 时，$f''(x) > 0$，函数为凸函数

例子 2：判断函数 $f(x) = \frac{1}{x}$（$x \neq 0$）的凹凸性。

解：

• $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$
• $f''(x) = \frac{2}{x^3}$
• 当 $x < 0$ 时，$f''(x) < 0$，函数为凹函数
• 当 $x > 0$ 时，$f''(x) > 0$，函数为凸函数

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练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ 的凹凸性。

参考答案

解题思路： 求二阶导数，分析符号。

详细步骤：

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4$
2. $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x^2 - 2x + 1) = 12(x-1)^2$
3. 对于所有 $x \neq 1$，$f''(x) > 0$，函数为凸函数
4. 在 $x = 1$ 处，$f''(1) = 0$，需要进一步分析

答案：函数在 $(-\infty, 1)$ 和 $(1, +\infty)$ 上都是凸函数。

练习 2

判断函数 $f(x) = \sin x$ 的凹凸性。

参考答案

解题思路： 求二阶导数，分析符号。

详细步骤：

1. $f'(x) = \cos x$
2. $f''(x) = -\sin x$
3. 当 $\sin x > 0$ 时（即 $x \in (2k\pi, (2k+1)\pi)$），$f''(x) < 0$，函数为凹函数
4. 当 $\sin x < 0$ 时（即 $x \in ((2k-1)\pi, 2k\pi)$），$f''(x) > 0$，函数为凸函数

答案：函数在 $(2k\pi, (2k+1)\pi)$ 上为凹函数，在 $((2k-1)\pi, 2k\pi)$ 上为凸函数，其中 $k$ 为整数。

练习 3

判断函数 $f(x) = e^{-x^2}$ 的凹凸性。

参考答案

解题思路： 求二阶导数，分析符号。

详细步骤：

1. $f'(x) = -2x e^{-x^2}$
2. $f''(x) = -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1)$
3. 当 $2x^2 - 1 > 0$ 时（即 $|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}$），$f''(x) > 0$，函数为凸函数
4. 当 $2x^2 - 1 < 0$ 时（即 $|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$），$f''(x) < 0$，函数为凹函数

答案：函数在 $(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ 和 $(\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty)$ 上为凸函数，在 $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ 上为凹函数。