logo
简体中文

导航菜单

高等数学之函数探秘

隐函数

隐函数

隐函数是由方程确定的函数关系，它不能直接解出显式表达式，需要通过方程来确定函数关系。

定义

隐函数：由方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0 所确定的函数关系。

特点

隐函数具有以下特点：

  • 非显式：不能直接解出 y 关于 x 的显式表达式
  • 方程确定：需要通过方程来确定函数关系
  • 多值性：可能存在多个函数值对应同一个自变量值
  • 局部性：隐函数通常只在某些区域内有效

常见例子

圆的方程

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 确定了一个隐函数，可以解出：

  • y=1−x2y = \sqrt{1 - x^2}（上半圆）
  • y=−1−x2y = -\sqrt{1 - x^2}（下半圆）

椭圆方程

x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 确定了一个隐函数

其他例子

  • x3+y3=3xyx^3 + y^3 = 3xy（笛卡尔叶形线）
  • ex+ey=1e^x + e^y = 1
  • sin⁡(x+y)=x+y\sin(x + y) = x + y

隐函数求导方法

基本步骤

  1. 对等式两边关于 x 求导
  2. 利用链式法则处理 y 的导数
  3. 解出 dydx\frac{dy}{dx}

具体方法

对于方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0：

  1. 对两边关于 x 求导： ∂F∂x+∂F∂y⋅dydx=0\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0

  2. 解出 dydx\frac{dy}{dx}： dydx=−∂F∂x∂F∂y\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}

注意事项

  • 分母不为零：∂F∂y≠0\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0
  • 局部性：结果只在某些点附近有效
  • 多值性：可能需要考虑多个分支

隐函数求导的例子

例子 1：圆的导数

对于 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1：

  1. 对两边求导：2x+2y⋅dydx=02x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0
  2. 解出导数：dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

例子 2：椭圆的导数

对于 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1：

  1. 对两边求导：2xa2+2yb2⋅dydx=0\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0
  2. 解出导数：dydx=−b2xa2y\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}

练习题

练习 1

求隐函数 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 在点 (1,3)(1, \sqrt{3}) 处的导数。

参考答案

解题思路： 对等式两边关于 x 求导，然后解出 dydx\frac{dy}{dx}。

详细步骤：

  1. 对 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 两边关于 x 求导： 2x+2y⋅dydx=02x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0
  2. 解出 dydx\frac{dy}{dx}： 2y⋅dydx=−2x2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
  3. 代入点 (1,3)(1, \sqrt{3})： dydx=−13=−33\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}

答案：在点 (1,3)(1, \sqrt{3}) 处的导数为 −33-\frac{\sqrt{3}}{3}。

练习 2

求隐函数 x3+y3=3xyx^3 + y^3 = 3xy 的导数。

参考答案

解题思路： 对等式两边关于 x 求导，然后解出 dydx\frac{dy}{dx}。

详细步骤：

  1. 对 x3+y3=3xyx^3 + y^3 = 3xy 两边关于 x 求导： 3x2+3y2⋅dydx=3y+3x⋅dydx3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 3y + 3x \cdot \frac{dy}{dx}
  2. 整理方程： 3y2⋅dydx−3x⋅dydx=3y−3x23y^2 \cdot \frac{dy}{dx} - 3x \cdot \frac{dy}{dx} = 3y - 3x^2 (3y2−3x)⋅dydx=3y−3x2(3y^2 - 3x) \cdot \frac{dy}{dx} = 3y - 3x^2
  3. 解出 dydx\frac{dy}{dx}： dydx=3y−3x23y2−3x=y−x2y2−x\frac{dy}{dx} = \frac{3y - 3x^2}{3y^2 - 3x} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}

答案：dydx=y−x2y2−x\frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}。

练习 3

求隐函数 ex+ey=1e^x + e^y = 1 的导数。

参考答案

解题思路： 对等式两边关于 x 求导，然后解出 dydx\frac{dy}{dx}。

详细步骤：

  1. 对 ex+ey=1e^x + e^y = 1 两边关于 x 求导： ex+ey⋅dydx=0e^x + e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 0
  2. 解出 dydx\frac{dy}{dx}： ey⋅dydx=−exe^y \cdot \frac{dy}{dx} = -e^x dydx=−exey=−ex−y\frac{dy}{dx} = -\frac{e^x}{e^y} = -e^{x-y}

答案：dydx=−ex−y\frac{dy}{dx} = -e^{x-y}。

搜索