隐函数

隐函数

隐函数是由方程确定的函数关系，它不能直接解出显式表达式，需要通过方程来确定函数关系。

定义

隐函数的定义

由方程 $F(x, y) = 0$ 所确定的函数关系称为隐函数。

特点

隐函数具有以下特点：

• 非显式：不能直接解出 y 关于 x 的显式表达式
• 方程确定：需要通过方程来确定函数关系
• 多值性：可能存在多个函数值对应同一个自变量值
• 局部性：隐函数通常只在某些区域内有效

常见例子

圆的方程

$x^2 + y^2 = 1$ 确定了一个隐函数，可以解出：

• $y = \sqrt{1 - x^2}$（上半圆）
• $y = -\sqrt{1 - x^2}$（下半圆）

椭圆方程

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 确定了一个隐函数

其他例子

• $x^3 + y^3 = 3xy$（笛卡尔叶形线）
• $e^x + e^y = 1$
• $\sin(x + y) = x + y$

隐函数求导方法

基本步骤

1. 对等式两边关于 x 求导
2. 利用链式法则处理 y 的导数
3. 解出 $\frac{dy}{dx}$

具体方法

对于方程 $F(x, y) = 0$：

1. 对两边关于 x 求导： $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

2. 解出 $\frac{dy}{dx}$： $\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$

注意事项

• 分母不为零：$\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$
• 局部性：结果只在某些点附近有效
• 多值性：可能需要考虑多个分支

隐函数求导的例子

例子 1：圆的导数

对于 $x^2 + y^2 = 1$：

1. 对两边求导：$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
2. 解出导数：$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

例子 2：椭圆的导数

对于 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$：

1. 对两边求导：$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
2. 解出导数：$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$

练习题

练习 1

求隐函数 $x^2 + y^2 = 4$ 在点 $(1, \sqrt{3})$ 处的导数。

参考答案

解题思路： 对等式两边关于 x 求导，然后解出 $\frac{dy}{dx}$。

详细步骤：

1. 对 $x^2 + y^2 = 4$ 两边关于 x 求导： $2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
2. 解出 $\frac{dy}{dx}$： $2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
3. 代入点 $(1, \sqrt{3})$： $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：在点 $(1, \sqrt{3})$ 处的导数为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

练习 2

求隐函数 $x^3 + y^3 = 3xy$ 的导数。

参考答案

解题思路： 对等式两边关于 x 求导，然后解出 $\frac{dy}{dx}$。

详细步骤：

1. 对 $x^3 + y^3 = 3xy$ 两边关于 x 求导： $3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 3y + 3x \cdot \frac{dy}{dx}$
2. 整理方程： $3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} - 3x \cdot \frac{dy}{dx} = 3y - 3x^2$ $(3y^2 - 3x) \cdot \frac{dy}{dx} = 3y - 3x^2$
3. 解出 $\frac{dy}{dx}$： $\frac{dy}{dx} = \frac{3y - 3x^2}{3y^2 - 3x} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

答案：$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$。

练习 3

求隐函数 $e^x + e^y = 1$ 的导数。

参考答案

解题思路： 对等式两边关于 x 求导，然后解出 $\frac{dy}{dx}$。

详细步骤：

1. 对 $e^x + e^y = 1$ 两边关于 x 求导： $e^x + e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
2. 解出 $\frac{dy}{dx}$： $e^y \cdot \frac{dy}{dx} = -e^x$ $\frac{dy}{dx} = -\frac{e^x}{e^y} = -e^{x-y}$

答案：$\frac{dy}{dx} = -e^{x-y}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$F(x, y)$	数学符号	F of x and y	两个变量的函数
$F(x, y) = 0$	数学符号	F of x and y equals zero	隐函数方程
$\frac{dy}{dx}$	数学符号	dy by dx	y 关于 x 的导数
$\frac{\partial F}{\partial x}$	数学符号	partial F by partial x	$F$ 关于 $x$ 的偏导数
$\frac{\partial F}{\partial y}$	数学符号	partial F by partial y	$F$ 关于 $y$ 的偏导数
$e^x$	数学符号	e to the power x	指数函数，以 $e$ 为底
$e^y$	数学符号	e to the power y	指数函数，以 $e$ 为底
$\sin(x + y)$	数学符号	sine of x plus y	正弦函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
隐函数	implicit function	/ɪmˈplɪsɪt ˈfʌŋkʃən/	由方程确定的函数关系
显式函数	explicit function	/ɪkˈsplɪsɪt ˈfʌŋkʃən/	可以直接表示 y 关于 x 的函数
隐函数求导	implicit differentiation	/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃən/	对隐函数求导数的方法
偏导数	partial derivative	/ˈpɑːʃəl dɪˈrɪvətɪv/	多元函数对某个变量的导数
链式法则	chain rule	/tʃeɪn ruːl/	复合函数求导的法则
多值性	multi-valuedness	/ˌmʌlti ˈvæljudnəs/	一个自变量对应多个函数值的性质
局部性	locality	/ləʊˈkælɪti/	函数只在某些区域内有效的性质
分支	branch	/brɑːntʃ/	隐函数的不同解
笛卡尔叶形线	Folium of Descartes	/ˈfəʊliəm əv deɪˈkɑːrt/	由方程 $x^3 + y^3 = 3xy$ 确定的曲线

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