函数的周期性

定义

周期函数的定义

若存在一个不为零的常数 $T$，使得对于定义域内的任意 $x$，恒有 $f(x + T) = f(x)$，则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 称为它的一个周期。

周期函数的周期个数有多少个？

如果 $T$ 是周期，那么对任意正整数 $n$，$nT$ 也是周期。

证明：

设 $T$ 是 $f(x)$ 的周期，即对任意 $x$，有 $f(x + T) = f(x)$。

对于 $2T$：

$$f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x)$$

对于 $3T$：

$$f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T) = f(x)$$

一般地，对于 $nT$（$n$ 为正整数）：

$$f(x + nT) = f(x + (n-1)T + T) = f(x + (n-1)T) = \cdots = f(x)$$

因此，如果 $T$ 是周期，那么 $2T$、$3T$、$4T$、$\ldots$、$nT$（$n$ 为正整数）都是周期。这说明周期函数的周期有无限多个。

周期可以是负数吗？

是的，如果 $T$ 是周期，那么 $-T$ 也是周期。

证明：

设 $T$ 是 $f(x)$ 的周期，即对任意 $x$，有 $f(x + T) = f(x)$。

对于 $-T$，我们需要证明 $f(x - T) = f(x)$。

令 $y = x - T$，则 $x = y + T$。由于 $T$ 是周期，有：

$$f(y + T) = f(y)$$

将 $y = x - T$ 代入，得到：

$$f((x - T) + T) = f(x - T)$$

即：

$$f(x) = f(x - T)$$

因此，$f(x - T) = f(x)$，这说明 $-T$ 也是周期。

结论：如果 $T$ 是周期，那么 $-T$ 也是周期。

以正弦函数 $y = \sin x$ 为例，从图像上可以看出，函数值每隔 $2\pi$ 就会重复出现：

即 $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ 对所有 $x$ 成立。

最小正周期

从上面的讨论我们知道，如果 $T$ 是周期函数的周期，那么 $nT$（$n$ 为整数）都是周期。这意味着周期函数的周期有无限多个，既有正周期，也有负周期。

为了研究的方便，我们通常关注最小正周期。

最小正周期的定义

对于周期函数 $f(x)$，如果存在一个正数 $T_0$，使得：

1. $T_0$ 是 $f(x)$ 的周期
2. 任何小于 $T_0$ 的正数都不是 $f(x)$ 的周期

那么 $T_0$ 称为 $f(x)$ 的最小正周期（fundamental period）。

最小正周期的意义：

• 最小正周期是描述函数重复性的最基本信息
• 知道了最小正周期，就可以推导出所有周期（$nT_0$，$n$ 为整数）

最小正周期是唯一的吗？

是的，如果周期函数存在最小正周期，那么它是唯一的。

证明（反证法）：

假设周期函数 $f(x)$ 有两个不同的最小正周期 $T_1$ 和 $T_2$，且 $T_1 \neq T_2$。

根据最小正周期的定义：

• $T_1$ 和 $T_2$ 都是 $f(x)$ 的周期
• 任何小于 $T_1$ 的正数都不是周期
• 任何小于 $T_2$ 的正数都不是周期

考虑 $T_1 - T_2$（假设 $T_1 > T_2$）：

由于 $T_1$ 和 $T_2$ 都是周期，那么：

• $f(x + T_1) = f(x)$
• $f(x + T_2) = f(x)$

但 $T_1 - T_2 < T_1$，如果 $T_1 - T_2 > 0$，那么 $T_1 - T_2$ 也应该是一个周期（因为 $f(x + (T_1 - T_2)) = f((x + T_1) - T_2) = f(x + T_1) = f(x)$），这与 $T_1$ 是最小正周期矛盾。

因此，假设不成立，最小正周期是唯一的（如果存在）。

结论：如果周期函数存在最小正周期，那么它是唯一的。

常数函数是周期函数吗？

是的，常数函数是周期函数。

证明：

设常数函数 $f(x) = c$（$c$ 为常数）。

对于任意正数 $T$，对任意 $x$，有：

$$f(x + T) = c = f(x)$$

因此，任意正数 $T$ 都是常数函数 $f(x) = c$ 的周期。

结论：常数函数是周期函数，且任意正数都是它的周期。

常数函数的最小正周期是什么？

常数函数没有最小正周期。

分析：

设常数函数 $f(x) = c$。

从前一个问题我们知道，任意正数 $T$ 都是常数函数的周期。

但是，对于任意给定的正数 $T_0$，总存在更小的正数 $T_1 < T_0$，而 $T_1$ 也是常数函数的周期（因为任意正数都是周期）。

因此，不存在一个最小的正数满足”任何小于它的正数都不是周期”这个条件。

结论：常数函数没有最小正周期。这说明不是所有周期函数都有最小正周期。

常见周期函数

常见周期函数图像

正弦余弦 正切余切 平方函数

观察这些函数的图像，它们的最小正周期是什么？

• $\sin x$、$\cos x$：最小正周期为 $2\pi$
• $\tan x$、$\cot x$：最小正周期为 $\pi$
• $\sin^2 x$、$\cos^2 x$：最小正周期为 $\pi$

重要性质

周期函数具有一些重要的性质，这些性质在判断函数的周期性以及求解周期函数的周期时非常有用。

周期函数的运算性质

性质：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是周期函数，周期分别为 $T_1$ 和 $T_2$，那么：

1. 和函数 $f(x) + g(x)$ 是周期函数
2. 差函数 $f(x) - g(x)$ 是周期函数
3. 积函数 $f(x) \cdot g(x)$ 是周期函数
4. 商函数 $\frac{f(x)}{g(x)}$（当 $g(x) \neq 0$ 时）是周期函数

例子：

• $\sin x + \cos x$：由于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的周期都是 $2\pi$，因此 $\sin x + \cos x$ 的周期为 $2\pi$
• $\sin x + \sin(2x)$：$\sin x$ 的周期为 $2\pi$，$\sin(2x)$ 的周期为 $\pi$，它们的最小公倍数是 $2\pi$，因此 $\sin x + \sin(2x)$ 的周期为 $2\pi$

你能证明周期函数的和、差、积、商仍然是周期函数吗？

证明思路：

设 $T$ 是 $T_1$ 和 $T_2$ 的公倍数（如果存在），则 $T$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公共周期。

（1）和函数的证明：

对于和函数 $h(x) = f(x) + g(x)$：

$$h(x + T) = f(x + T) + g(x + T) = f(x) + g(x) = h(x)$$

因此，$h(x)$ 是周期函数，周期为 $T$。

（2）差函数、积函数、商函数的证明：

类似地，可以验证：

• 差函数：$f(x + T) - g(x + T) = f(x) - g(x)$
• 积函数：$f(x + T) \cdot g(x + T) = f(x) \cdot g(x)$
• 商函数（当 $g(x) \neq 0$ 时）：$\frac{f(x + T)}{g(x + T)} = \frac{f(x)}{g(x)}$

注意：$f(x) + g(x)$ 的周期不一定是 $T_1$ 或 $T_2$，而是 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数（如果存在）。如果 $T_1$ 和 $T_2$ 不可公度（即它们的比是无理数），则 $f(x) + g(x)$ 可能没有最小正周期。

周期函数的复合性质

性质：如果 $f(x)$ 是周期函数，周期为 $T$，那么 $f(g(x))$ 的周期性取决于内层函数 $g(x)$ 的性质。

情况 1：如果 $g(x)$ 是线性函数 $g(x) = kx + b$（$k \neq 0$），则 $f(g(x)) = f(kx + b)$ 也是周期函数，周期为 $\frac{T}{|k|}$。

情况 2：如果 $g(x)$ 本身是周期函数，周期为 $T_g$，那么 $f(g(x))$ 的周期通常是 $T$ 和 $T_g$ 的最小公倍数（如果存在）。

例子：

• $f(x) = \sin(3x)$：$\sin x$ 的周期为 $2\pi$，因此 $\sin(3x)$ 的周期为 $\frac{2\pi}{3}$
• $f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{4})$：$\cos x$ 的周期为 $2\pi$，因此 $\cos(x + \frac{\pi}{4})$ 的周期为 $2\pi$（平移不改变周期）

你能证明周期函数的复合函数的周期性吗？

情况 1：$g(x) = kx + b$（线性函数）的证明

由于 $f(x)$ 的周期为 $T$，即 $f(x + T) = f(x)$ 对所有 $x$ 成立。

对于 $f(kx + b)$，需要找到 $T'$ 使得 $f(k(x + T') + b) = f(kx + b)$。

设 $y = kx + b$，则 $f(k(x + T') + b) = f(kx + b + kT') = f(y + kT')$。

要使 $f(y + kT') = f(y)$，需要 $kT' = T$（或 $kT'$ 是 $T$ 的整数倍）。

因此，$T' = \frac{T}{|k|}$ 是 $f(kx + b)$ 的一个周期。

情况 2：$g(x)$ 也是周期函数的说明

如果 $g(x)$ 本身是周期函数，周期为 $T_g$，那么 $f(g(x))$ 的周期通常是 $T$ 和 $T_g$ 的最小公倍数（如果存在）。这是因为需要同时满足 $f(x + T) = f(x)$ 和 $g(x + T_g) = g(x)$。

周期函数的积分性质

性质：如果 $f(x)$ 是周期函数，周期为 $T$，且在区间 $[a, a + T]$ 上可积，则 $f(x)$ 在任意一个周期内的积分都相等。

数学表达：

对任意 $a \in \mathbb{R}$，有：

$$\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$$

意义：这个性质说明，周期函数在任意一个周期内的积分值都相同。这在计算周期函数的平均值、功率等物理量时非常有用。

例子：

• 对于 $f(x) = \sin x$，周期为 $2\pi$，有： $$\int_a^{a+2\pi} \sin x dx = \int_0^{2\pi} \sin x dx = 0$$ 对任意 $a$ 都成立。

你能证明周期函数在任意一个周期内的积分都相等吗？

证明：

由于 $f(x)$ 的周期为 $T$，即 $f(x + T) = f(x)$。

设 $u = x - T$，则 $x = u + T$，$dx = du$。

当 $x$ 从 $a$ 变到 $a + T$ 时，$u$ 从 $a - T$ 变到 $a$。

$$\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_{a-T}^a f(u + T) du = \int_{a-T}^a f(u) du$$

继续换元，设 $v = u + T$，则：

$$\int_{a-T}^a f(u) du = \int_0^T f(v) dv = \int_0^T f(x) dx$$

因此，对任意 $a$，都有：

$$\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$$

关键思路：利用周期函数的性质 $f(x + T) = f(x)$，通过换元法将积分区间转移到 $[0, T]$。

判断方法

判断一个函数是否为周期函数，以及求其周期，需要掌握不同的判断方法。下面通过几个例子来学习这些方法。

例 1

判断函数 $f(x) = \sin x$ 是否为周期函数，如果是，求其周期。

分析：

根据周期函数的定义，需要找到一个不为零的常数 $T$，使得对定义域内的任意 $x$，都有 $f(x + T) = f(x)$。

即需要找到 $T \neq 0$，使得 $\sin(x + T) = \sin x$ 对所有 $x$ 成立。

基于正弦函数的定义（在单位圆上，角度的正弦值等于该角度对应的点的纵坐标），我们知道：角度 $x$ 和角度 $x + 2\pi$ 在单位圆上对应同一个点（因为旋转 $2\pi$ 后回到原位置），因此它们的正弦值相等，即 $\sin(x + 2\pi) = \sin x$。

验证：设 $T = 2\pi$，对任意 $x$，有：

$$f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) = \sin x = f(x)$$

且 $2\pi \neq 0$，因此 $f(x) = \sin x$ 是周期函数，$2\pi$ 是它的一个周期。

方法总结：这种方法叫做定义法，即直接利用周期函数的定义进行判断。通过解方程 $f(x + T) = f(x)$ 或直接验证，确定是否存在这样的 $T$。

例 2

通过观察函数图像，判断正弦函数 $y = \sin x$ 和正切函数 $y = \tan x$ 的周期。

分析：

观察正弦函数 $y = \sin x$ 的图像：

从图像可以看出，函数值呈波浪形变化，每隔 $2\pi$ 重复一次相同的模式。因此，正弦函数的周期为 $2\pi$。

观察正切函数 $y = \tan x$ 的图像：

从图像可以看出，函数值呈周期性跳跃，每隔 $\pi$ 重复一次相同的模式。因此，正切函数的周期为 $\pi$。

方法总结：这种方法叫做图像法，即通过观察函数图像是否具有重复性来判断周期性。图像法直观、形象，有助于理解周期性的几何意义，但需要准确绘制或识别图像。

例 3

求下列函数的周期：

1. $f(x) = \sin(3x)$
2. $f(x) = \tan(\frac{x}{2})$
3. $f(x) = \sin x + \cos x$

分析：

（1）$f(x) = \sin(3x)$

已知 $\sin x$ 的周期为 $2\pi$，对于 $\sin(kx)$（$k \neq 0$），周期为 $\frac{2\pi}{|k|}$。

因此，$\sin(3x)$ 的周期为 $\frac{2\pi}{3}$。

（2）$f(x) = \tan(\frac{x}{2})$

已知 $\tan x$ 的周期为 $\pi$，对于 $\tan(kx)$（$k \neq 0$），周期为 $\frac{\pi}{|k|}$。

因此，$\tan(\frac{x}{2})$ 的周期为 $\frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$。

（3）$f(x) = \sin x + \cos x$

$\sin x$ 的周期为 $2\pi$，$\cos x$ 的周期也为 $2\pi$。

对于两个周期函数的和，如果它们的周期分别为 $T_1$ 和 $T_2$，则和的周期是 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数（如果存在）。

由于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的周期都是 $2\pi$，因此 $\sin x + \cos x$ 的周期为 $2\pi$。

方法总结：这种方法叫做公式法，即利用已知的周期函数及其性质进行判断。常用的规律有：

• $\sin(kx)$、$\cos(kx)$（$k \neq 0$）：周期为 $\frac{2\pi}{|k|}$
• $\tan(kx)$、$\cot(kx)$（$k \neq 0$）：周期为 $\frac{\pi}{|k|}$
• 对于 $f(kx + b)$（$k \neq 0$），如果 $f(x)$ 的周期为 $T$，则 $f(kx + b)$ 的周期为 $\frac{T}{|k|}$
• 如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是周期函数，周期分别为 $T_1$ 和 $T_2$，则 $f(x) + g(x)$、$f(x) - g(x)$ 的周期是 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数（如果存在）

公式法快速、准确，适用于常见的周期函数。

总结

通过以上例子，我们学习了判断函数周期性的三种主要方法：

• 定义法：从周期函数的定义出发，直接验证 $f(x + T) = f(x)$ 是否成立。适用于可以直接代入定义进行验证的函数。

• 图像法：通过观察函数图像的模式重复性来判断周期性。直观、形象，有助于理解周期性的几何意义，但对于复杂函数可能不够精确。

• 公式法：利用已知周期函数的性质，通过公式推导确定周期。快速、准确，适用于标准的三角函数及其复合形式。

在实际应用中，这三种方法常常结合使用：对于标准三角函数，可以直接使用公式法；对于复合函数，可以先使用公式法确定基本周期，再用定义法验证；对于不熟悉的函数，可以通过图像法获得直观认识，再用定义法严格证明。

发散思维

1. 自然界中的周期现象

周期现象在自然界中随处可见，这些现象可以用周期函数来描述：

天体运动：

• 昼夜交替：地球自转导致昼夜循环，周期约为 24 小时
• 月相变化：月球绕地球运动的周期约为 29.5 天
• 四季更替：地球公转导致季节变化，周期为 1 年（约 365.25 天）

生物节律：

• 生物钟：许多生物体内的生理活动具有 24 小时的周期（昼夜节律）
• 睡眠周期：人类的睡眠-觉醒周期、植物的开花时间等都有一定的周期性

波动现象：

• 水波：水面上的波浪运动具有明显的周期性
• 声波：声音的传播是周期性振动，频率决定了音调的高低

数学建模：

这些自然现象可以用三角函数来描述，例如：

• 昼夜温度变化可以用 $T(t) = A\sin(\omega t + \phi) + B$ 来近似（其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，周期为 $\frac{2\pi}{\omega}$）
• 月相变化可以用正弦或余弦函数来建模

理解周期函数的性质，有助于我们更好地认识和预测这些自然现象。

练习题

练习 1

求函数 $f(x) = \sin(3x) + \cos(2x)$ 的周期。

参考答案

解题思路： 需要分别求出 $\sin(3x)$ 和 $\cos(2x)$ 的周期，然后求它们的最小公倍数。

详细步骤：

1. $\sin(3x)$ 的周期：$T_1 = \frac{2\pi}{3}$
2. $\cos(2x)$ 的周期：$T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$
3. 求最小公倍数： $\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$，$\pi = \frac{3\pi}{3}$ 最小公倍数为 $2\pi$

答案：该函数的周期为 $2\pi$。

练习 2

判断函数 $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ 是否为周期函数，如果是，求其周期。

参考答案

解题思路： 利用三角恒等式简化函数表达式。

详细步骤：

1. 利用恒等式：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
2. 因此 $f(x) = 1$，这是一个常函数
3. 常函数是周期函数，任意非零实数都是其周期
4. 最小正周期不存在（因为任意小的正数都是周期）

答案：该函数是周期函数，但不存在最小正周期。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示周期函数的周期（如 $2\pi$、$\pi$）
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集
$\omega$	希腊字母	Omega（欧米伽）	表示角频率
$\phi$	希腊字母	Phi（费/菲）	表示相位角或角度

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
周期函数	periodic function	/pɪəriˈɒdɪk ˈfʌŋkʃən/	存在非零常数 $T$，使得 $f(x + T) = f(x)$ 对所有 $x$ 成立的函数
周期	period	/ˈpɪəriəd/	函数值重复出现的最小间隔
最小正周期	fundamental period	/ˈfʌndəmentl ˈpɪəriəd/	周期函数的最小正周期，如果存在，则唯一
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围
运算性质	operational property	/ɒpəˈreɪʃənl ˈprɒpəti/	周期函数经过四则运算后仍为周期函数的性质
复合性质	composition property	/kɒmpəˈzɪʃən ˈprɒpəti/	周期函数复合后的周期性规律
积分性质	integral property	/ˈɪntɪɡrəl ˈprɒpəti/	周期函数在任意周期内积分相等的性质
定义法	definition method	/defɪˈnɪʃən ˈmeθəd/	直接利用周期函数定义进行判断的方法
图像法	graphical method	/ˈɡræfɪkəl ˈmeθəd/	通过观察函数图像判断周期性的方法
公式法	formula method	/ˈfɔːmjələ ˈmeθəd/	利用已知周期函数性质进行判断的方法

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