函数的周期性

周期性

定义：若存在一个不为零的常数 T，使得对于定义域内的任意 x，恒有 $f(x + T) = f(x)$，则称 $f(x)$ 为周期函数，T 称为它的一个周期。通常我们说的是最小正周期。

性质

• 如果 T 是周期，那么 nT（n 为正整数）也是周期
• 周期函数的图像具有重复性
• 周期函数的定义域通常是无限集

常见周期函数

• $\sin x$、$\cos x$：周期为 $2\pi$
• $\tan x$、$\cot x$：周期为 $\pi$
• $\sin^2 x$、$\cos^2 x$：周期为 $\pi$

例子

• $f(x) = \sin(2x)$ 的周期为 $\pi$
• $f(x) = \cos(\frac{x}{3})$ 的周期为 $6\pi$
• $f(x) = \sin x + \cos x$ 的周期为 $2\pi$

判断方法

1. 定义法：直接利用周期性的定义进行判断
2. 图像法：观察函数图像是否具有重复性
3. 公式法：利用已知的周期函数公式

重要性质

• 周期函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为周期函数
• 周期函数的复合函数仍为周期函数
• 周期函数在任意一个周期内的积分相等

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练习题

练习 1

求函数 $f(x) = \sin(3x) + \cos(2x)$ 的周期。

参考答案

解题思路： 需要分别求出 $\sin(3x)$ 和 $\cos(2x)$ 的周期，然后求它们的最小公倍数。

详细步骤：

1. $\sin(3x)$ 的周期：$T_1 = \frac{2\pi}{3}$
2. $\cos(2x)$ 的周期：$T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$
3. 求最小公倍数： $\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$，$\pi = \frac{3\pi}{3}$ 最小公倍数为 $2\pi$

答案：该函数的周期为 $2\pi$。

练习 2

判断函数 $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ 是否为周期函数，如果是，求其周期。

参考答案

解题思路： 利用三角恒等式简化函数表达式。

详细步骤：

1. 利用恒等式：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
2. 因此 $f(x) = 1$，这是一个常函数
3. 常函数是周期函数，任意非零实数都是其周期
4. 最小正周期不存在（因为任意小的正数都是周期）

答案：该函数是周期函数，但不存在最小正周期。