参数函数

参数函数

参数函数是通过参数方程表示的函数关系，它在几何学和物理学中有重要应用。

定义

参数函数：由参数方程 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$ 确定的函数关系。

特点

参数函数具有以下特点：

• 参数表示：自变量和因变量都通过参数 t 表示
• 消参可能：可以通过消参得到显式函数
• 几何意义：在几何上表示曲线
• 方向性：参数 t 的变化方向决定了曲线的方向

常见参数方程

圆的参数方程

半径为 r 的圆的参数方程： $\begin{cases} x = r\cos t \\ y = r\sin t \end{cases}, \quad t \in [0, 2\pi]$

椭圆的参数方程

半长轴为 a，半短轴为 b 的椭圆的参数方程： $\begin{cases} x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases}, \quad t \in [0, 2\pi]$

直线的参数方程

过点 $(x_0, y_0)$，方向向量为 $(a, b)$ 的直线的参数方程： $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

摆线的参数方程

摆线的参数方程： $\begin{cases} x = a(t - \sin t) \\ y = a(1 - \cos t) \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

消参方法

基本步骤

1. 从参数方程中解出参数 t
2. 将 t 的表达式代入另一个方程
3. 整理得到显式函数关系

例子

对于圆的参数方程 $\begin{cases} x = r\cos t \\ y = r\sin t \end{cases}$：

1. 从第一个方程解出：$\cos t = \frac{x}{r}$
2. 从第二个方程解出：$\sin t = \frac{y}{r}$
3. 利用 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$： $(\frac{x}{r})^2 + (\frac{y}{r})^2 = 1$
4. 整理得到：$x^2 + y^2 = r^2$

参数函数的导数

基本公式

如果 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$，则：

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$

二阶导数

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt}(\frac{y'(t)}{x'(t)}) \cdot \frac{dt}{dx}$

参数函数的应用

几何应用

• 曲线绘制：通过参数方程绘制复杂曲线
• 轨迹问题：描述动点的运动轨迹
• 极坐标转换：将极坐标方程转换为参数方程

物理应用

• 运动学：描述质点的运动轨迹
• 力学：分析物体的运动状态
• 电磁学：描述电磁场的分布

练习题

练习 1

求参数方程 $\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases}$ 的显式函数关系。

参考答案

解题思路： 通过消参得到显式函数关系。

详细步骤：

1. 从第一个方程解出参数 t： $t = \sqrt{x}$（注意 $x \geq 0$）
2. 将 t 的表达式代入第二个方程： $y = (\sqrt{x})^3 = x^{3/2}$
3. 因此显式函数为：$y = x^{3/2}$，定义域为 $[0, +\infty)$

答案：$y = x^{3/2}$，定义域为 $[0, +\infty)$。

练习 2

求参数方程 $\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases}$ 的导数。

参考答案

解题思路： 使用参数函数的导数公式。

详细步骤：

1. 计算 $x'(t)$ 和 $y'(t)$： $x'(t) = -\sin t$ $y'(t) = \cos t$
2. 使用导数公式： $\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t$
3. 由于 $x = \cos t$，所以 $t = \arccos x$，代入得到： $\frac{dy}{dx} = -\cot(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

答案：$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$。

练习 3

求参数方程 $\begin{cases} x = e^t \\ y = e^{-t} \end{cases}$ 的显式函数关系。

参考答案

解题思路： 通过消参得到显式函数关系。

详细步骤：

1. 从第一个方程解出参数 t： $t = \ln x$（注意 $x > 0$）
2. 将 t 的表达式代入第二个方程： $y = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$
3. 因此显式函数为：$y = \frac{1}{x}$，定义域为 $(0, +\infty)$

答案：$y = \frac{1}{x}$，定义域为 $(0, +\infty)$。