函数的有界性

有界性

定义：若存在常数 M，使得对任意 $x \in D$，总有 $|f(x)| \leq M$，则称函数 $f(x)$ 在 D 上有界。

分类

• 有上界：若存在常数 M，使得对任意 $x \in D$，总有 $f(x) \leq M$
• 有下界：若存在常数 m，使得对任意 $x \in D$，总有 $f(x) \geq m$
• 有界：既有上界又有下界

几何意义

有界函数的图像被限制在两条水平线之间，即存在水平带，使得函数图像完全位于这个带内。

例子

• $f(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界，因为 $|\sin x| \leq 1$
• $f(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上有下界（0），但无上界
• $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上无界

判断方法

1. 直接法：通过观察函数表达式，判断其值域范围
2. 求导法：对于连续函数，可以通过求导找到极值点
3. 不等式法：利用已知的不等式关系进行判断

重要性质

• 有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数
• 有界函数与常数的积仍为有界函数
• 连续函数在闭区间上必有界（有界性定理）

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练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的有界性。

参考答案

解题思路： 需要分析函数的值域范围，看是否存在上下界。

详细步骤：

1. 分析函数表达式：$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$
2. 当 $x = 0$ 时，$f(0) = 0$
3. 当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = \frac{1}{x + \frac{1}{x}}$
4. 利用不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2$（当 $x > 0$）或 $x + \frac{1}{x} \leq -2$（当 $x < 0$）
5. 因此 $|f(x)| \leq \frac{1}{2}$

答案：该函数在 $\mathbb{R}$ 上有界，上界为 $\frac{1}{2}$，下界为 $-\frac{1}{2}$。

练习 2

判断函数 $f(x) = \ln x$ 在 $(0, 1]$ 上的有界性。

参考答案

解题思路： 分析对数函数在给定区间上的取值范围。

详细步骤：

1. $\ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递增
2. 当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$
3. 当 $x = 1$ 时，$\ln 1 = 0$
4. 因此在 $(0, 1]$ 上，函数值范围为 $(-\infty, 0]$

答案：该函数在 $(0, 1]$ 上有上界（0），但无下界，因此不是有界函数。