分段函数

分段函数

分段函数是在定义域的不同部分用不同解析式来表示的函数，它在数学分析和实际应用中非常常见。

定义

分段函数：在定义域的不同部分，用不同的解析式来表示的函数。

特点

分段函数具有以下特点：

• 定义域分割：定义域被分成若干个区间
• 不同解析式：每个区间对应一个解析式
• 分界点处理：在区间的分界点需要特别注意函数的连续性
• 分段分析：函数的性质需要分段讨论

构造方法

分段函数的构造通常遵循以下步骤：

1. 确定定义域：明确函数的定义域
2. 划分区间：根据条件将定义域分成不同的区间
3. 选择解析式：为每个区间选择合适的解析式
4. 处理分界点：确保在分界点处函数的定义和连续性

常见例子

绝对值函数

$$f(x) = |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

符号函数

f(x) = \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}

取整函数

f(x) = [x] = \text{不超过} x \text{的最大整数}

注意事项

• 分界点定义：分段函数在分界点的值要明确
• 连续性：分段函数可能在某些点不连续
• 性质分析：分段函数的性质需要分段讨论
• 图像绘制：绘制分段函数图像时要注意各段的连接

分段函数的性质分析

连续性

分段函数在分界点的连续性需要特别关注：

• 如果左右极限相等且等于函数值，则连续
• 否则函数在该点不连续

可导性

分段函数在分界点的可导性：

• 需要检查左右导数是否相等
• 如果相等，则在该点可导
• 否则在该点不可导

练习题

练习 1

构造一个分段函数 $f(x)$，使得：

• 当 $x \geq 0$ 时，$f(x) = x^2$
• 当 $x < 0$ 时，$f(x) = -x$

参考答案

解题思路： 根据给定的条件构造分段函数。

详细步骤：

1. 根据条件，函数在 $x \geq 0$ 时使用 $x^2$
2. 在 $x < 0$ 时使用 $-x$
3. 在分界点 $x = 0$ 处，$f(0) = 0^2 = 0$

答案：

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

练习 2

判断分段函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 需要检查函数在 $x = 0$ 处的左右极限和函数值。

详细步骤：

1. 计算左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$
2. 计算右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$
3. 函数值：$f(0) = 0^2 = 0$
4. 由于左极限、右极限和函数值都相等，所以函数在 $x = 0$ 处连续。

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。

练习 3

构造一个分段函数 $f(x)$，使得：

• 当 $x > 1$ 时，$f(x) = \frac{1}{x-1}$
• 当 $x \leq 1$ 时，$f(x) = x^2$

参考答案

解题思路： 根据给定的条件构造分段函数。

详细步骤：

1. 根据条件，函数在 $x > 1$ 时使用 $\frac{1}{x-1}$
2. 在 $x \leq 1$ 时使用 $x^2$
3. 在分界点 $x = 1$ 处，$f(1) = 1^2 = 1$

答案：

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & x > 1 \\ x^2, & x \leq 1 \end{cases}$$

注意：这个函数在 $x = 1$ 处不连续，因为左极限为 $1$，右极限为 $+\infty$。