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对数函数

对数函数的定义

对数函数是指形如 y=logaxy = \log_a x 的函数,其中 a>0a > 0a1a \neq 1

读法

y=logaxy = \log_a x 读作:“yy 等于以 aa 为底的 xx 的对数”。 例如:

  • y=log2xy = \log_2 x 读作:“yy 等于以 2 为底的 xx 的对数”
  • y=log10xy = \log_{10} x 读作:“yy 等于以 10 为底的 xx 的对数”
  • y=logexy = \log_e x 也可写作 y=lnxy = \ln x,读作“yy 等于 xx 的自然对数”

性质与图像

  • 定义域为 (0,+)(0, +\infty)
  • 值域为 R\mathbb{R}
  • a>1a > 1 时,函数单调递增
  • 0<a<10 < a < 1 时,函数单调递减
  • 图像过点 (1,0)(1, 0)
  • yy 轴为渐近线

常见对数函数举例

  • y=lnxy = \ln x
  • y=log2xy = \log_2 x
  • y=log10xy = \log_{10} x

换底公式

对数函数有一个重要的性质——换底公式,它允许我们在不同底数的对数之间进行转换。

换底公式

对于任意正数 aabbcc(其中 a1a \neq 1b1b \neq 1c>0c > 0),有:

logac=logbclogba\log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a}

常用形式

  1. 以自然对数为底logac=lnclna\log_a c = \frac{\ln c}{\ln a}

  2. 以常用对数为底logac=log10clog10a\log_a c = \frac{\log_{10} c}{\log_{10} a}

  3. 以 2 为底logac=log2clog2a\log_a c = \frac{\log_2 c}{\log_2 a}

证明

logac=x\log_a c = x,则 ax=ca^x = c

两边取以 bb 为底的对数: logb(ax)=logbc\log_b (a^x) = \log_b c

根据对数的幂运算性质: xlogba=logbcx \cdot \log_b a = \log_b c

因此: x=logbclogbax = \frac{\log_b c}{\log_b a}

即: logac=logbclogba\log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a}

应用举例

例 1:计算 log38\log_3 8

使用换底公式: log38=ln8ln3=2.07941.09861.893\log_3 8 = \frac{\ln 8}{\ln 3} = \frac{2.0794}{1.0986} \approx 1.893

例 2:计算 log5125\log_5 125

使用换底公式: log5125=ln125ln5=4.82831.6094=3\log_5 125 = \frac{\ln 125}{\ln 5} = \frac{4.8283}{1.6094} = 3

例 3:证明 logablogba=1\log_a b \cdot \log_b a = 1

使用换底公式: logab=lnblna\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} logba=lnalnb\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}

因此: logablogba=lnblnalnalnb=1\log_a b \cdot \log_b a = \frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln a}{\ln b} = 1


习题

习题 1

已知对数函数 y=log2xy = \log_2 x,求其定义域和值域。

答案与解析

定义域:(0,+)(0, +\infty);值域:R\mathbb{R}

习题 2

判断下列函数中哪些是对数函数:y=log3xy = \log_3 xy=x3y = x^3y=lnxy = \ln xy=2xy = 2^x

答案与解析

y=log3xy = \log_3 xy=lnxy = \ln x 是对数函数,y=x3y = x^3y=2xy = 2^x 不是。

习题 3

画出 y=log2xy = \log_2 xy=log1/2xy = \log_{1/2} x 的大致图像,并比较它们的单调性。

答案与解析

y=log2xy = \log_2 x 单调递增,y=log1/2xy = \log_{1 / 2} x 单调递减。

习题 4

已知 y=logaxy = \log_a xa>1a > 1,判断其在 yy 轴上的渐近线。

答案与解析

yy 轴(x=0x=0)为其渐近线。

习题 5

判断 y=log2xy = \log_{-2} x 是否为对数函数,并说明理由。

答案与解析

不是。对数函数的底数 aa 必须大于 0 且不等于 1。

习题 6

使用换底公式计算 log416\log_4 16

答案与解析

使用换底公式:log416=ln16ln4=2.77261.3863=2\log_4 16 = \frac{\ln 16}{\ln 4} = \frac{2.7726}{1.3863} = 2

或者直接计算:42=164^2 = 16,所以 log416=2\log_4 16 = 2

习题 7

使用换底公式计算 log327\log_3 27

答案与解析

使用换底公式:log327=ln27ln3=3.29581.0986=3\log_3 27 = \frac{\ln 27}{\ln 3} = \frac{3.2958}{1.0986} = 3

或者直接计算:33=273^3 = 27,所以 log327=3\log_3 27 = 3

习题 8

证明:logablogbc=logac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c

答案与解析

使用换底公式: logab=lnblna\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}logbc=lnclnb\log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}

因此: logablogbc=lnblnalnclnb=lnclna=logac\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln c}{\ln b} = \frac{\ln c}{\ln a} = \log_a c


考研真题

真题 1

【2020·数学一】已知 y=logaxy = \log_a xa>1a > 1,若 y(1)=0y(1) = 0y(a)=1y(a) = 1,求 aa 的值。

答案与解析

y(1)=loga1=0y(1) = \log_a 1 = 0,恒成立; 由 y(a)=logaa=1y(a) = \log_a a = 1,也恒成立; 因此,只要 a>1a > 1y=logaxy = \log_a x 都满足题意,aa 的取值为 a>1a > 1

真题 2

【2018·数学二】下列函数中,哪些是对数函数?
(A) y=log2xy = \log_2 x
(B) y=x2y = x^2
(C) y=lnxy = \ln x
(D) y=2xy = 2^x

答案与解析

(A)、(C) 是对数函数,(B)、(D) 不是。

真题 3

【2016·数学一】已知 y=logaxy = \log_a x0<a<10 < a < 1,则 yy 的单调性如何?

答案与解析

yy 单调递减。

真题 4

改编自2020考研数学一第15题

已知 log23=a\log_2 3 = alog25=b\log_2 5 = b,求 log615\log_6 15 的值。

答案与解析

使用换底公式: log615=log215log26=log2(3×5)log2(2×3)=log23+log25log22+log23=a+b1+a\log_6 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 6} = \frac{\log_2 (3 \times 5)}{\log_2 (2 \times 3)} = \frac{\log_2 3 + \log_2 5}{\log_2 2 + \log_2 3} = \frac{a + b}{1 + a}

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