对数函数
对数函数的定义
对数函数是指形如 y=logax 的函数,其中 a>0 且 a=1。
读法
y=logax 读作:“y 等于以 a 为底的 x 的对数”。
例如:
- y=log2x 读作:“y 等于以 2 为底的 x 的对数”
- y=log10x 读作:“y 等于以 10 为底的 x 的对数”
- y=logex 也可写作 y=lnx,读作“y 等于 x 的自然对数”
性质与图像
- 定义域为 (0,+∞)
- 值域为 R
- 当 a>1 时,函数单调递增
- 当 0<a<1 时,函数单调递减
- 图像过点 (1,0)
- 以 y 轴为渐近线
常见对数函数举例
- y=lnx
- y=log2x
- y=log10x
换底公式
对数函数有一个重要的性质——换底公式,它允许我们在不同底数的对数之间进行转换。
换底公式
对于任意正数 a、b、c(其中 a=1,b=1,c>0),有:
logac=logbalogbc
常用形式
-
以自然对数为底:
logac=lnalnc
-
以常用对数为底:
logac=log10alog10c
-
以 2 为底:
logac=log2alog2c
证明
设 logac=x,则 ax=c。
两边取以 b 为底的对数:
logb(ax)=logbc
根据对数的幂运算性质:
x⋅logba=logbc
因此:
x=logbalogbc
即:
logac=logbalogbc
应用举例
例 1:计算 log38
使用换底公式:
log38=ln3ln8=1.09862.0794≈1.893
例 2:计算 log5125
使用换底公式:
log5125=ln5ln125=1.60944.8283=3
例 3:证明 logab⋅logba=1
使用换底公式:
logab=lnalnb
logba=lnblna
因此:
logab⋅logba=lnalnb⋅lnblna=1
习题
习题 1
已知对数函数 y=log2x,求其定义域和值域。
习题 2
判断下列函数中哪些是对数函数:y=log3x,y=x3,y=lnx,y=2x。
习题 3
画出 y=log2x 和 y=log1/2x 的大致图像,并比较它们的单调性。
习题 4
已知 y=logax,a>1,判断其在 y 轴上的渐近线。
习题 5
判断 y=log−2x 是否为对数函数,并说明理由。
习题 6
使用换底公式计算 log416。
答案与解析
使用换底公式:log416=ln4ln16=1.38632.7726=2。
或者直接计算:42=16,所以 log416=2。
习题 7
使用换底公式计算 log327。
答案与解析
使用换底公式:log327=ln3ln27=1.09863.2958=3。
或者直接计算:33=27,所以 log327=3。
习题 8
证明:logab⋅logbc=logac。
答案与解析
使用换底公式:
logab=lnalnb,
logbc=lnblnc
因此:
logab⋅logbc=lnalnb⋅lnblnc=lnalnc=logac
考研真题
真题 1
【2020·数学一】已知 y=logax,a>1,若 y(1)=0,y(a)=1,求 a 的值。
真题 2
【2018·数学二】下列函数中,哪些是对数函数?
(A) y=log2x
(B) y=x2
(C) y=lnx
(D) y=2x
真题 3
【2016·数学一】已知 y=logax,0<a<1,则 y 的单调性如何?
真题 4
改编自2020考研数学一第15题
已知 log23=a,log25=b,求 log615 的值。