对数函数

对数函数的定义

对数函数的定义

对数函数是指形如 $y = \log_a x$ 的函数，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$。

读法

$y = \log_a x$ 读作：“$y$ 等于以 $a$ 为底的 $x$ 的对数”。 例如：

• $y = \log_2 x$ 读作：“$y$ 等于以 2 为底的 $x$ 的对数”
• $y = \log_{10} x$ 读作：“$y$ 等于以 10 为底的 $x$ 的对数”
• $y = \log_e x$ 也可写作 $y = \ln x$，读作“$y$ 等于 $x$ 的自然对数”

性质与图像

• 定义域为 $(0, +\infty)$
• 值域为 $\mathbb{R}$
• 当 $a > 1$ 时，函数单调递增
• 当 $0 < a < 1$ 时，函数单调递减
• 图像过点 $(1, 0)$
• 以 $y$ 轴为渐近线

常见对数函数举例

• $y = \ln x$
• $y = \log_2 x$
• $y = \log_{10} x$

换底公式

对数函数有一个重要的性质——换底公式，它允许我们在不同底数的对数之间进行转换。

换底公式

对于任意正数 $a$、$b$、$c$（其中 $a \neq 1$，$b \neq 1$，$c > 0$），有：

$\log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a}$

常用形式

1. 以自然对数为底： $\log_a c = \frac{\ln c}{\ln a}$

2. 以常用对数为底： $\log_a c = \frac{\log_{10} c}{\log_{10} a}$

3. 以 2 为底： $\log_a c = \frac{\log_2 c}{\log_2 a}$

证明

设 $\log_a c = x$，则 $a^x = c$。

两边取以 $b$ 为底的对数： $\log_b (a^x) = \log_b c$

根据对数的幂运算性质： $x \cdot \log_b a = \log_b c$

因此： $x = \frac{\log_b c}{\log_b a}$

即： $\log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a}$

应用举例

例 1：计算 $\log_3 8$

使用换底公式： $\log_3 8 = \frac{\ln 8}{\ln 3} = \frac{2.0794}{1.0986} \approx 1.893$

例 2：计算 $\log_5 125$

使用换底公式： $\log_5 125 = \frac{\ln 125}{\ln 5} = \frac{4.8283}{1.6094} = 3$

例 3：证明 $\log_a b \cdot \log_b a = 1$

使用换底公式： $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$

因此： $\log_a b \cdot \log_b a = \frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln a}{\ln b} = 1$

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习题

习题 1

已知对数函数 $y = \log_2 x$，求其定义域和值域。

答案与解析

定义域：$(0, +\infty)$；值域：$\mathbb{R}$。

习题 2

判断下列函数中哪些是对数函数：$y = \log_3 x$，$y = x^3$，$y = \ln x$，$y = 2^x$。

答案与解析

$y = \log_3 x$、$y = \ln x$ 是对数函数，$y = x^3$、$y = 2^x$ 不是。

习题 3

画出 $y = \log_2 x$ 和 $y = \log_{1/2} x$ 的大致图像，并比较它们的单调性。

答案与解析

$y = \log_2 x$ 单调递增，$y = \log_{1 / 2} x$ 单调递减。

习题 4

已知 $y = \log_a x$，$a > 1$，判断其在 $y$ 轴上的渐近线。

答案与解析

$y$ 轴（$x=0$）为其渐近线。

习题 5

判断 $y = \log_{-2} x$ 是否为对数函数，并说明理由。

答案与解析

不是。对数函数的底数 $a$ 必须大于 0 且不等于 1。

习题 6

使用换底公式计算 $\log_4 16$。

答案与解析

使用换底公式：$\log_4 16 = \frac{\ln 16}{\ln 4} = \frac{2.7726}{1.3863} = 2$。

或者直接计算：$4^2 = 16$，所以 $\log_4 16 = 2$。

习题 7

使用换底公式计算 $\log_3 27$。

答案与解析

使用换底公式：$\log_3 27 = \frac{\ln 27}{\ln 3} = \frac{3.2958}{1.0986} = 3$。

或者直接计算：$3^3 = 27$，所以 $\log_3 27 = 3$。

习题 8

证明：$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$。

答案与解析

使用换底公式： $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$， $\log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}$

因此： $\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln c}{\ln b} = \frac{\ln c}{\ln a} = \log_a c$

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考研真题

真题 1

【2020·数学一】已知 $y = \log_a x$，$a > 1$，若 $y(1) = 0$，$y(a) = 1$，求 $a$ 的值。

答案与解析

由 $y(1) = \log_a 1 = 0$，恒成立； 由 $y(a) = \log_a a = 1$，也恒成立； 因此，只要 $a > 1$，$y = \log_a x$ 都满足题意，$a$ 的取值为 $a > 1$。

真题 2

【2018·数学二】下列函数中，哪些是对数函数？
(A) $y = \log_2 x$
(B) $y = x^2$
(C) $y = \ln x$
(D) $y = 2^x$

答案与解析

(A)、(C) 是对数函数，(B)、(D) 不是。

真题 3

【2016·数学一】已知 $y = \log_a x$，$0 < a < 1$，则 $y$ 的单调性如何？

答案与解析

$y$ 单调递减。

真题 4

改编自2020考研数学一第15题

已知 $\log_2 3 = a$，$\log_2 5 = b$，求 $\log_6 15$ 的值。

答案与解析

使用换底公式： $\log_6 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 6} = \frac{\log_2 (3 \times 5)}{\log_2 (2 \times 3)} = \frac{\log_2 3 + \log_2 5}{\log_2 2 + \log_2 3} = \frac{a + b}{1 + a}$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\log_a x$	数学符号	log base a of x	以 $a$ 为底的 $x$ 的对数
$\ln x$	数学符号	natural log of x	自然对数，以 $e$ 为底的对数
$\log_2 x$	数学符号	log base 2 of x	以 2 为底的 $x$ 的对数
$\log_{10} x$	数学符号	log base 10 of x	以 10 为底的 $x$ 的对数
$a$	数学符号	a	对数的底数，必须大于 0 且不等于 1
$(0, +\infty)$	数学符号	开区间	左开右无穷区间
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集，所有实数的集合

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
对数函数	logarithmic function	/lɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/	指数函数的反函数，形如 $y = \log_a x$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$
对数	logarithm	/ˈlɒɡərɪðəm/	函数名称，简写为 $\log$
底数	base	/beɪs/	对数函数中的 $a$，必须大于 0 且不等于 1
自然对数	natural logarithm	/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪðəm/	以 $e$ 为底的对数，记作 $\ln$
换底公式	change of base formula	/tʃeɪndʒ əv beɪs ˈfɔːmjələ/	将对数从一个底数转换为另一个底数的公式
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围
渐近线	asymptote	/ˈæsɪmptəʊt/	函数图像无限接近但不相交的直线

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