三角函数

三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等基本函数，以及幂三角函数等复合形式。

历史与故事

三角函数的历史源远流长，跨越了多个文明和时代。

起源与早期发展：
- 早在公元前 1800 年，古巴比伦人就用弦长表解决天文和测量问题，弦长即圆中两点间的直线距离，是三角函数的雏形。
- 公元 5 世纪，印度天文学家阿耶波多（Aryabhata）在《阿耶波多历书》中首次提出”jya”（正弦）表，用于天文计算。印度人用半弦（半径与弦形成的角的对边）简化计算，这就是正弦的原型。
- 余弦（utkrama-jya）和余切等概念也在印度三角学中出现。
阿拉伯世界的贡献：
- 8 世纪起，印度三角学传入阿拉伯，学者如阿尔·巴塔尼（Al-Battani）完善了正弦、余弦、正切等函数表。
- 正弦”jya”音译为”jiba”，后误读为”jaib”（意为”湾”）；余弦称为”qaws al-zāʾid”（补弦），正切为”zill”（影子），余切为”mukabala zill”（对影），正割为”qaws al-munqati”（截断的弦），余割为”qaws al-mukabala”（对截弦）。
欧洲的系统化与命名：
- 12 世纪，阿拉伯文献被翻译成拉丁文，“jaib”被译为”sinus”，最终成为英语”sine”（正弦）。
- 16 世纪，瑞士数学家维特（Viète）、德国数学家雷吉奥蒙塔努斯（Regiomontanus）等推动三角学系统化。
- 余弦（cosine）来自拉丁文”complementi sinus”（余角的正弦），正切（tangent）来自拉丁文”tangens”（接触），余切（cotangent）为”cotangens”（余接触），正割（secant）为”secans”（切割），余割（cosecant）为”cosecans”（余切割）。
符号与标准化：
- 18 世纪，欧拉（Leonhard Euler）将”sin”、“cos”、“tan”、“cot”、“sec”、“csc”作为六个三角函数的标准记号，并将三角函数推广到复数领域。
趣闻轶事：
- 正弦（sine）一词是”音译+误译”的产物，源自印度、阿拉伯、拉丁多次转译。
- 正切函数最初用于测量高塔、山峰等高度，因其与切线长度相关。
- 余弦的英文”cosine”本意是”余角的正弦”，即 $\cos x = \sin(90^\circ - x)$ 。
应用领域：
- 三角函数最初用于天文测量，如计算星体位置、日月食等，后广泛应用于物理、工程、信号处理、导航、测量、建筑等领域。