角度与弧度

角度和弧度是测量角的两种不同的单位制。在日常生活中，我们常用角度（度）来描述角的大小；在数学中，特别是在学习三角函数时，弧度（radian）更为常用。理解角度与弧度的关系，对于掌握三角函数至关重要。

角度的定义

角度的定义

角度（degree） 是将圆周分为 360 等份，每份为 1 度，记作 1°。

历史来源：角度制的起源可以追溯到古巴比伦人的 60 进制计数系统。他们将圆周分为 360 等份，这一数字可能来源于他们对一年 360 天的观察（近似值），或者因为 360 能被很多数字整除，便于分割。

特点：

• 直观易懂，便于日常使用和测量
• 广泛应用于日常生活、工程测量、地理导航等领域
• 单位符号：°

例子：

• 直角：90°
• 平角：180°
• 周角：360°

弧度的定义

弧度的定义

弧度（radian） 是用弧长与半径的比值来度量角的大小。

在半径为 $r$ 的圆中，如果圆心角 $\theta$ 所对的弧长为 $s$，那么该角的弧度数定义为：

弧度定义公式

$$\theta = \frac{s}{r}$$

当弧长等于半径时（$s = r$），该角为 1 弧度，记作 1 rad。

特点：

• 数学公式更简洁，便于计算
• 在微积分、三角函数等领域广泛使用
• 单位符号：rad（在数学表达式中通常省略不写）

例子：

• 当弧长为半径的 2 倍时，角度为 2 弧度
• 当弧长为半径的一半时，角度为 0.5 弧度

角度与弧度的关系

基本关系

一个完整的圆周，其弧长为 $2\pi r$（半径为 $r$），对应的角度为 360°。

根据弧度定义，完整圆周的弧度数为：

$$\text{弧度数} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi$$

因此：

角度与弧度的基本关系

$$360° = 2\pi \text{ 弧度}$$

进一步得到：

半圆周的角度与弧度关系

$$180° = \pi \text{ 弧度}$$

换算公式

根据基本关系 $180° = \pi$，可以得到换算公式：

角度转弧度：

角度转弧度公式

$$\text{弧度} = \text{角度} \times \frac{\pi}{180}$$

弧度转角度：

弧度转角度公式

$$\text{角度} = \text{弧度} \times \frac{180}{\pi}$$

换算示例

示例 1：将 90° 转换为弧度

$$90° = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ 弧度}$$

示例 2：将 $\frac{\pi}{3}$ 弧度转换为角度

$$\frac{\pi}{3} \text{ 弧度} = \frac{\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 60°$$

常见对应值表

以下是常见角度与弧度的对应关系：

角度	弧度	说明
$0°$	$0$	起始位置
$30°$	$\frac{\pi}{6}$
$45°$	$\frac{\pi}{4}$
$60°$	$\frac{\pi}{3}$
$90°$	$\frac{\pi}{2}$	直角
$120°$	$\frac{2\pi}{3}$
$135°$	$\frac{3\pi}{4}$
$150°$	$\frac{5\pi}{6}$
$180°$	$\pi$	平角
$270°$	$\frac{3\pi}{2}$
$360°$	$2\pi$	完整圆周

为什么在数学中使用弧度

在数学中，特别是在微积分和三角函数领域，弧度制比角度制更为常用，原因如下：

1. 数学公式更简洁

在使用弧度时，许多重要的数学公式更加简洁优美：

导数公式：

正弦函数导数（使用弧度）

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$$

如果使用角度，公式会变得复杂。

2. 极限公式更简单

重要的极限公式在使用弧度时非常简洁：

重要极限公式（使用弧度）

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

这个公式在 $x$ 为弧度时成立，是微积分中许多推导的基础。

3. 便于积分和级数展开

使用弧度时，函数的积分和泰勒级数展开更加简洁：

泰勒级数展开：

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \quad (x \text{ 为弧度})$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \quad (x \text{ 为弧度})$$

4. 与圆周率自然联系

在弧度制中，完整的圆周自然对应 $2\pi$，这使得许多数学关系更加直观和统一。

在三角函数中的应用

三角函数的周期

三角函数的周期通常用弧度表示：

• $\sin x$ 和 $\cos x$ 的周期为 $2\pi$（弧度）
• $\tan x$ 和 $\cot x$ 的周期为 $\pi$（弧度）

图像横轴的对应关系

在绘制三角函数图像时，经常会出现这样的情况：

• 图像的横轴可能显示角度（如 0°, 90°, 180°, 360°）
• 文字描述中使用的周期是弧度（如 $2\pi$）

它们的对应关系是：

• 图像上的 360° 对应周期 $2\pi$（弧度）
• 图像上的 180° 对应周期 $\pi$（弧度）
• 图像上的 90° 对应周期 $\frac{\pi}{2}$（弧度）

计算时的转换

在编程或计算中使用三角函数时，通常需要将角度转换为弧度：

// JavaScript 示例
const degrees = 90;
const radians = degrees * Math.PI / 180;
const sinValue = Math.sin(radians); // 计算 sin(90°)

这是因为大多数编程语言的数学库函数默认使用弧度作为输入单位。

练习题

练习 1

将下列角度转换为弧度：

(1) $30°$
(2) $120°$
(3) $225°$

参考答案

解题思路： 使用换算公式 $\text{弧度} = \text{角度} \times \frac{\pi}{180}$。

详细步骤：

(1) $30° = 30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

(2) $120° = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$

(3) $225° = 225 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{4}$

答案：

• (1) $\frac{\pi}{6}$
• (2) $\frac{2\pi}{3}$
• (3) $\frac{5\pi}{4}$

练习 2

将下列弧度转换为角度：

(1) $\frac{\pi}{4}$
(2) $\frac{3\pi}{2}$
(3) $\frac{7\pi}{6}$

参考答案

解题思路： 使用换算公式 $\text{角度} = \text{弧度} \times \frac{180}{\pi}$。

详细步骤：

(1) $\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 45°$

(2) $\frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \times \frac{180}{\pi} = 270°$

(3) $\frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 210°$

答案：

• (1) $45°$
• (2) $270°$
• (3) $210°$

练习 3

已知 $\sin x$ 的周期为 $2\pi$（弧度），说明图像上每 360° 的重复对应周期 $2\pi$。

参考答案

解题思路： 利用角度与弧度的换算关系，说明 360° 等于 $2\pi$ 弧度。

详细步骤：

1. 根据换算公式：$360° = 360 \times \frac{\pi}{180} = 2\pi$ 弧度

2. 因此，图像横轴上显示的 360° 就对应着周期 $2\pi$（弧度）

3. 所以，当我们在图像上看到函数值每隔 360° 重复出现时，这正好对应着三角函数的周期 $2\pi$

答案： 图像上每 360° 的重复对应周期 $2\pi$，因为 $360° = 2\pi$ 弧度。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\theta$	希腊字母	Theta（西塔）	表示角的大小（圆心角）
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于角度与弧度的换算（$180° = \pi$ 弧度）

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
角度	degree	/dɪˈɡriː/	将圆周分为 360 等份，每份为 1 度，记作 1°
弧度	radian	/ˈreɪdiən/	用弧长与半径的比值来度量角的大小
弧长	arc length	/ɑːk leŋθ/	圆上两点之间的曲线长度
半径	radius	/ˈreɪdiəs/	从圆心到圆周上任意一点的距离
圆心角	central angle	/ˈsentrəl ˈæŋɡəl/	以圆心为顶点的角
换算	conversion	/kənˈvɜːʃən/	在不同度量单位之间进行转换

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