函数的拐点

解题思路： 求二阶导数，找临界点，分析符号变化。

详细步骤：

1. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
2. $f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2)$
3. 令 $f''(x) = 0$，得 $x = 2$
4. 当 $x < 2$ 时，$f''(x) < 0$，函数为凹函数
5. 当 $x > 2$ 时，$f''(x) > 0$，函数为凸函数
6. $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$

答案：拐点为 $(2, 3)$。

解题思路： 求二阶导数，找临界点，分析符号变化。

详细步骤：

1. $f'(x) = \frac{3x^2(x^2 + 1) - x^3 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2(x^2 + 3)}{(x^2 + 1)^2}$
2. $f''(x) = \frac{(2x(x^2 + 3) + x^2 \cdot 2x)(x^2 + 1)^2 - x^2(x^2 + 3) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}$
3. 简化后：$f''(x) = \frac{2x(3 - x^2)}{(x^2 + 1)^3}$
4. 令 $f''(x) = 0$，得 $x = 0, \pm \sqrt{3}$
5. 分析符号变化：
   • $x = 0$：符号从负变正，是拐点
   • $x = \pm \sqrt{3}$：符号从正变负，是拐点

答案：拐点为 $(0, 0)$，$(\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{4})$，$(-\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{4})$。

解题思路： 求二阶导数，找临界点，分析符号变化。

详细步骤：

1. $f'(x) = \cos x$
2. $f''(x) = -\sin x$
3. 令 $f''(x) = 0$，得 $\sin x = 0$，即 $x = k\pi$（$k$ 为整数）
4. 分析符号变化：
   • 当 $x$ 从 $(2k-1)\pi$ 到 $2k\pi$ 时，$f''(x)$ 从正变负
   • 当 $x$ 从 $2k\pi$ 到 $(2k+1)\pi$ 时，$f''(x)$ 从负变正
5. 因此所有 $x = k\pi$ 都是拐点

答案：拐点为 $(k\pi, 0)$，其中 $k$ 为整数。

解题思路： 利用等价无穷小的性质和拐点的判定条件。

详细步骤：

1. 由 $\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$，可得 $f(x)\sim \ln x$ 当 $x\to1$

2. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，所以 $\lim\limits_{x\to1} f(x)=0$，即 $f(1)=0$

3. 设 $g(x)=\frac{f(x)}{\ln x}$，则 $f(x)=g(x)\ln x$

4. 应用乘积法则： $f'(x)=g'(x)\ln x + g(x)\cdot\frac{1}{x}$

5. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，$\frac{1}{x}\to1$，$g(x)\to1$，所以 $f'(1)=1$

6. 再次求导： $f''(x)=g''(x)\ln x + 2g'(x)\cdot\frac{1}{x} - g(x)\cdot\frac{1}{x^2}$

7. 当 $x\to1$ 时，$f''(1)=-1$

8. 由于 $f''(1)=-1\neq0$，所以 $x=1$ 不是 $f(x)$ 的拐点

答案：$x=1$ 不是 $f(x)$ 的拐点

解题思路： 使用参数方程求导公式，分析二阶导数的符号变化。

详细步骤：

1. 当 $t\geq0$ 时，$x=3t, y=t\sin t$，所以 $y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}$

2. 当 $t<0$ 时，$x=t, y=-t\sin t$，所以 $y=-x\sin x$

3. 因此 $f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}$

4. 计算一阶导数： $f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}+\frac{x}{9}\cos\frac{x}{3}, & x\geq0\\-\sin x-x\cos x, & x<0\end{cases}$

5. 计算二阶导数： $f''(x)=\begin{cases}\frac{2}{9}\cos\frac{x}{3}-\frac{x}{27}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-2\cos x+x\sin x, & x<0\end{cases}$

6. 在 $x=0$ 处：

   • 左导数：$f''_-(0)=-2\cos 0+0\cdot\sin 0=-2$
   • 右导数：$f''_+(0)=\frac{2}{9}\cos 0-0\cdot\sin 0=\frac{2}{9}$

7. 由于左导数和右导数不相等，$f''(0)$ 不存在

8. 分析符号变化：

   • 当 $x<0$ 时，$f''(x)<0$（凹函数）
   • 当 $x>0$ 时，$f''(x)>0$（凸函数）

答案：$x=0$ 是 $f(x)$ 的拐点

解题思路： 使用积分上限函数求导公式，分析二阶导数的符号变化。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式：$f'(x)=e^{\cos x}$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导： $f''(x)=-e^{\cos x}\sin x$

3. 在 $x=0$ 处：

   • $f'(0)=e^{\cos 0}=e$
   • $f''(0)=-e^{\cos 0}\sin 0=0$

4. 分析 $f''(x)$ 在 $x=0$ 附近的符号：

   • 当 $x<0$ 时，$\sin x<0$，所以 $f''(x)>0$（凸函数）
   • 当 $x>0$ 时，$\sin x>0$，所以 $f''(x)<0$（凹函数）

5. 由于二阶导数在 $x=0$ 处从正变负，符号发生变化

答案：$x=0$ 是 $f(x)$ 的拐点

解题思路： 使用积分上限函数求导公式，分析二阶导数的符号变化。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式：$f'(x) = e^{x^2} \sin x$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导： $f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$

3. 在 $x=0$ 处：

   • $f'(0) = e^{0^2} \sin 0 = 0$
   • $f''(0) = 2 \cdot 0 \cdot e^{0^2} \sin 0 + e^{0^2} \cos 0 = 1$

4. 由于 $f''(0) = 1 \neq 0$，所以 $x=0$ 不是 $f(x)$ 的拐点

答案：$x=0$ 不是 $f(x)$ 的拐点

解题思路： 利用拐点的判定条件，分析二阶导数的符号变化。

详细步骤：

1. 已知 $f(1)=0$，$f'(1)=1$，$f''(1)=0$

2. 由于 $f''(1)=0$，满足拐点的必要条件

3. 需要进一步分析 $f''(x)$ 在 $x=1$ 附近的符号变化

4. 由于题目没有给出 $f''(x)$ 在 $x=1$ 附近的表达式，无法确定符号变化

5. 因此无法判断 $x=1$ 是否为拐点

答案：无法判断，需要更多信息

解题思路： 利用拐点的判定条件，分析二阶导数的符号变化。

详细步骤：

1. 已知 $g(0)=0$，$g'(0)=0$，$g''(0)=0$

2. 由于 $g''(0)=0$，满足拐点的必要条件

3. 需要进一步分析 $g''(x)$ 在 $x=0$ 附近的符号变化

4. 由于题目没有给出 $g''(x)$ 在 $x=0$ 附近的表达式，无法确定符号变化

5. 因此无法判断 $x=0$ 是否为拐点

答案：无法判断，需要更多信息

解题思路： 利用泰勒公式和拐点的判定条件进行证明。

详细步骤：

1. 由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极值，且 $f'(0)=0$，所以 $x=0$ 是驻点

2. 使用泰勒公式展开到二阶： $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(\xi)}{2!}x^2 = \frac{f''(\xi)}{2}x^2$，其中 $\xi$ 在 $0$ 与 $x$ 之间

3. 由于 $f''(0)=0$，且 $f''(x)$ 连续，所以存在 $\delta>0$，使得当 $|x|<\delta$ 时，$f''(x)$ 的符号与 $f''(0)$ 相同

4. 如果 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极值，那么 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近单调

5. 这意味着 $f''(x)$ 在 $x=0$ 两侧的符号不同，即从正变负或从负变正

6. 因此 $x=0$ 是 $f(x)$ 的拐点

答案：证明完成，$x=0$ 是 $f(x)$ 的拐点