三角函数的起源与发现

问题的发现

想象你生活在几千年前的古印度，既没有高科技仪器，也没有现代数学公式。

你是一位测量师，负责解决一个看似简单却又棘手的问题：

如何测量一棵大树的高度？

太阳高度角30°

你望着村口那棵参天大树，心想：如果能飞到树顶，当然可以直接测量；可惜你只能站在地面。

你试着用绳子、竹竿，发现都不够长。

正当你苦恼时，注意到树在阳光下投下了一条长长的影子。

你灵机一动：影子的长度很容易测量，也许可以根据影子的长度推算出大树的高度。

你决定做几个实验。

实验一：高度和影子长度的比例关系

在同一时间、同一地点，分别测量不同高度的物体（比如1米高的木杆和5米高的旗杆）的影子长度。

物体	高度（米）	影子长度（米）	比例（影子/高度）
木杆	1	2	2
旗杆	5	10	2
小树	2	4	2
石柱	3	6	2

你发现，物体越高，影子也越长，而且它们之间有着固定的比例关系。

也就是说：

\frac{\text{物体A的高度}}{\text{物体B的高度}} = \frac{\text{物体A的影子长度}}{\text{物体B的影子长度}}

这个实验说明：
在同一时间、同一地点，不同物体的影子长度与物体高度成正比。

---

正是通过这个实验的启发，你已经可以解决最初提出的”如何测量大树高度”的问题了。

比如：

• 你用1米高的木杆测得影子长2米。
• 此时你测得大树的影子长10米。

根据实验一的比例关系：

\frac{\text{大树的高度}}{\text{木杆的高度}} = \frac{\text{大树的影子长度}}{\text{木杆的影子长度}}

代入数据：

$$\frac{h}{1} = \frac{10}{2}$$

所以大树的高度 $h = 5$ 米。

也就是说，只要在同一时刻测量木杆和大树的影子长度，就能利用比例关系推算出大树的高度。

这个方法简单实用，是古人最早利用影子测量高度的智慧体现。

比例与时间的关系

下面是一整天中每隔一小时测量同一根1米高木杆影子长度的实验数据，可以明显看出比例值呈现周期性变化：中午最小，早晚最大。

你可能会发现，在不同的时间测量同一根木杆的影子长度，比例值（影子长度/物体高度）并不是一成不变的。早晨和傍晚，影子很长，比例值很大；中午时分，影子变短，比例值变小。

这说明，比例的变化其实和一天中的时间有关。究其原因，是因为太阳在天空中的位置不断变化——也就是太阳高度角在变化。

• 太阳升得越高，影子越短，比例值越小；
• 太阳靠近地平线时，影子越长，比例值越大。

因此，比例值的变化，本质上反映了太阳高度角的变化。理解了这一点，我们就能进一步探究：太阳高度角到底是什么？它又是如何影响影子的长度和比例的呢？

太阳高度角

太阳高度角，指的是太阳光线与地面之间的夹角。

• 当太阳在头顶正上方时，太阳高度角为 90°。
• 当太阳刚升起或快落山时，太阳高度角接近 0°。

太阳高度角会随着一天中时间的变化而变化：

• 早晨和傍晚，太阳高度角较小，影子较长。
• 中午时分，太阳高度角最大，影子最短。

在测量大树高度时，太阳高度角是计算树高的重要参数。 通常可以通过量角器、手机应用或已知物体的影长来测量太阳高度角。

不同地点的太阳高度角

太阳高度角不仅随一天中的时间变化，还与地球上所在的位置有关。

• 纬度影响：靠近赤道的地区，太阳高度角通常较大；靠近南北极的地区，太阳高度角较小。
• 季节影响：一年四季中，太阳高度角也会变化。例如，夏天中午的太阳高度角比冬天大。
• 同一时刻，不同地点：即使在同一时刻，不同纬度的地方太阳高度角也不同。例如：
  • 在赤道附近，中午时分太阳几乎在头顶，太阳高度角接近 90°。
  • 在北京，中午的太阳高度角比赤道小，冬天时甚至更低。
  • 在北极圈内，冬季有时太阳甚至不会升起，太阳高度角为 0°。

因此，测量太阳高度角时，需要考虑你所在的地理位置和日期。

同一村庄不同位置的太阳高度角

在同一个村庄的东头和西头，太阳高度角几乎是一样的。 因为太阳高度角主要取决于纬度、日期和时间，而村庄的东西跨度很小（通常只有几百米到几公里），对太阳高度角的影响可以忽略不计。

• 原理说明： 太阳高度角的计算与地球的半径相比，村庄的东西距离非常微小，所以在同一时刻，村庄内各处的太阳高度角几乎没有差别。
• 实际应用： 无论你在村子的东头还是西头，只要在同一时刻测量，太阳高度角可以认为是相同的。

只有在跨越很大的经度（如跨越一个时区或上百公里）时，太阳高度角才会有明显差异。

实验二：直角三角形中边与角之间的神奇联系

你找来一根正好1米高的木杆，垂直插在地上，测量它的影子长度。你发现，随着太阳升高或降低，影子的长度也在变化。你又用同样的方法测量大树的影子长度。

这时，你开始思考：

• 太阳高度角、物体的高度、影子的长度三者之间，究竟有什么关系？
• 能不能找到一种”比例”或”规律”，让你只需测量影子的长度和太阳高度角，就能算出任何物体的高度？

你不断实验、记录、推算，终于发现了直角三角形中边与角之间的神奇联系。你和同伴们把这种”比例”整理成表格，方便查阅和计算。

这，就是最早的”正切表”：

角度（°）	0°	30°	45°	60°	90°
正切值	0	0.577	1	1.732	∞

再回到大树的测量问题。

太阳高度角30°

如上图所示，假设你已经测量出大树影子的长度 $L$，并通过竖直杆子的实验得到了太阳高度角 $\theta$。

此时，大树、地面和影子末端构成一个直角三角形：

• 大树的高度 $h$ 是直角三角形的”对边”；
• 影子的长度 $L$ 是”邻边”；
• 太阳高度角 $\theta$ 是大树与地面之间的夹角。

根据三角函数定义，有：

$$\tan \theta = \frac{h}{L}$$

因此，只要测量影子的长度 $L$，查表或计算出 $\theta$，就能推算出大树的高度：

$$h = L \cdot \tan \theta$$

例如，太阳高度角为30°时，正切值是0.577；如果树的影子长为2米，就能推算出树高为1.154米（2×0.577≈1.154）。

这就是古人利用三角函数解决实际测量问题的基本思路。