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幂三角函数

定义

幂三角函数是指形如 y=[sinx]ny = [\sin x]^ny=[cosx]ny = [\cos x]^n 的函数,其中 nn 为正整数。

基本形式:

  • y=sinnxy = \sin^n x (正弦的幂函数)
  • y=cosnxy = \cos^n x (余弦的幂函数)
  • y=tannxy = \tan^n x (正切的幂函数)

性质分析

周期性

幂三角函数继承了原三角函数的周期性:

  • sinnx\sin^n x 的周期为 2π2\pi
  • cosnx\cos^n x 的周期为 2π2\pi
  • tannx\tan^n x 的周期为 π\pi

奇偶性

  • nn 为奇数时,sinnx\sin^n x 是奇函数
  • nn 为偶数时,sinnx\sin^n x 是偶函数
  • nn 为奇数时,cosnx\cos^n x 是偶函数
  • nn 为偶数时,cosnx\cos^n x 是偶函数

值域

  • sinnx\sin^n x 的值域为 [0,1][0, 1](当 nn 为偶数时)或 [1,1][-1, 1](当 nn 为奇数时)
  • cosnx\cos^n x 的值域为 [0,1][0, 1](当 nn 为偶数时)或 [1,1][-1, 1](当 nn 为奇数时)

常见幂三角函数

y=sin2xy = \sin^2 x

这是最常见的幂三角函数之一,也称为正弦平方函数

性质:

  • 周期:2π2\pi
  • 奇偶性:偶函数
  • 值域:[0,1][0, 1]
  • 图像:始终非负,在 x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi 处取得最大值 1,在 x=kπx = k\pi 处取得最小值 0

重要公式:

sin2x=1cos2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

y=cos2xy = \cos^2 x

性质:

  • 周期:2π2\pi
  • 奇偶性:偶函数
  • 值域:[0,1][0, 1]
  • 图像:始终非负,在 x=kπx = k\pi 处取得最大值 1,在 x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi 处取得最小值 0

重要公式:

cos2x=1+cos2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

y=sin3xy = \sin^3 x

性质:

  • 周期:2π2\pi
  • 奇偶性:奇函数
  • 值域:[1,1][-1, 1]
  • 图像:在 x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi 处取得极值

y=cos3xy = \cos^3 x

性质:

  • 周期:2π2\pi
  • 奇偶性:偶函数
  • 值域:[1,1][-1, 1]
  • 图像:在 x=kπx = k\pi 处取得极值

图像特征

偶数次幂

nn 为偶数时:

  • 函数值始终非负
  • 图像在 xx 轴上方
  • 在零点处取得最小值 0
  • 在极值点处取得最大值 1

奇数次幂

nn 为奇数时:

  • 函数值可以为负
  • 图像跨越 xx
  • 保持原三角函数的奇偶性

应用与意义

幂三角函数在以下领域有重要应用:

  1. 信号处理:用于信号调制和滤波
  2. 物理学:描述振动和波动现象
  3. 工程学:电路分析和机械振动
  4. 数学分析:傅里叶级数展开

练习题

练习 1

求函数 y=sin2xy = \sin^2 x 的定义域、值域和周期。

参考答案

解题思路: 分析正弦平方函数的基本性质,利用三角函数的性质推导。

详细步骤

  1. 定义域:由于 sinx\sin x 的定义域是 R\mathbb{R},所以 sin2x\sin^2 x 的定义域也是 R\mathbb{R}

  2. 值域:由于 sinx[1,1]\sin x \in [-1, 1],所以 sin2x[0,1]\sin^2 x \in [0, 1]

  3. 周期:由于 sinx\sin x 的周期是 2π2\pi,所以 sin2x\sin^2 x 的周期也是 2π2\pi

答案

  • 定义域:R\mathbb{R}
  • 值域:[0,1][0, 1]
  • 周期:2π2\pi

练习 2

判断函数 y=cos3xy = \cos^3 x 的奇偶性,并说明理由。

参考答案

解题思路: 利用奇偶函数的定义和余弦函数的性质进行分析。

详细步骤

  1. f(x)=cos3xf(x) = \cos^3 x

  2. 计算 f(x)=cos3(x)=[cos(x)]3=(cosx)3=cos3x=f(x)f(-x) = \cos^3(-x) = [\cos(-x)]^3 = (\cos x)^3 = \cos^3 x = f(x)

  3. 由于 f(x)=f(x)f(-x) = f(x),所以 y=cos3xy = \cos^3 x 是偶函数

答案y=cos3xy = \cos^3 x 是偶函数,因为 f(x)=f(x)f(-x) = f(x)

练习 3

求函数 y=sin4x+cos4xy = \sin^4 x + \cos^4 x 的最小值。

参考答案

解题思路: 利用三角恒等式和配方法求解。

详细步骤

  1. 利用恒等式:sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)22sin2xcos2x\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x

  2. 由于 sin2x+cos2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1,所以: sin4x+cos4x=12sin2xcos2x\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x

  3. 利用倍角公式:sin2x=2sinxcosx\sin 2x = 2\sin x \cos x,所以: sin2xcos2x=sin22x4\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}

  4. 因此:sin4x+cos4x=1sin22x2\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{\sin^2 2x}{2}

  5. 由于 sin22x[0,1]\sin^2 2x \in [0, 1],所以 sin22x2[0,12]\frac{\sin^2 2x}{2} \in [0, \frac{1}{2}]

  6. 因此 1sin22x2[12,1]1 - \frac{\sin^2 2x}{2} \in [\frac{1}{2}, 1]

答案: 最小值为 12\frac{1}{2}

练习 4

证明:对于任意正整数 nn,函数 y=sinnxy = \sin^n x 的周期为 2π2\pi

参考答案

解题思路: 利用周期函数的定义和正弦函数的周期性进行证明。

详细步骤

  1. f(x)=sinnxf(x) = \sin^n x

  2. 由于 sin(x+2π)=sinx\sin(x + 2\pi) = \sin x,所以: f(x+2π)=sinn(x+2π)=[sin(x+2π)]n=(sinx)n=sinnx=f(x)f(x + 2\pi) = \sin^n(x + 2\pi) = [\sin(x + 2\pi)]^n = (\sin x)^n = \sin^n x = f(x)

  3. 因此 2π2\pif(x)f(x) 的一个周期

  4. 假设存在更小的正周期 TT,则 sinn(x+T)=sinnx\sin^n(x + T) = \sin^n x 对所有 xx 成立

  5. 这意味着 sin(x+T)=sinx\sin(x + T) = \sin xsin(x+T)=sinx\sin(x + T) = -\sin x

  6. sin(x+T)=sinx\sin(x + T) = -\sin x 不能对所有 xx 成立,所以 sin(x+T)=sinx\sin(x + T) = \sin x

  7. 因此 TT 必须是 sinx\sin x 的周期,即 T=2πT = 2\pi

答案: 函数 y=sinnxy = \sin^n x 的最小正周期为 2π2\pi

考研真题

真题 1

【2022·数学一】设 f(x)=sin2x+cos2xf(x) = \sin^2 x + \cos^2 x,则 f(x)f(x) 的值域为( )

(A) [0,1][0, 1] (B) [1,2][1, 2] (C) [0,2][0, 2] (D) [1,1][1, 1]

参考答案

解题思路: 利用三角恒等式 sin2x+cos2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 求解。

详细步骤

  1. 由于 sin2x+cos2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 对所有 xx 成立

  2. 所以 f(x)=1f(x) = 1 对所有 xx 成立

  3. 因此 f(x)f(x) 的值域为 {1}\{1\},即 [1,1][1, 1]

答案: (D) [1,1][1, 1]

真题 2

【2021·数学二】函数 y=cos3xy = \cos^3 x 的周期为( )

(A) π\pi (B) 2π2\pi (C) 4π4\pi (D) 6π6\pi

参考答案

解题思路: 分析余弦函数的周期性和幂函数的性质。

详细步骤

  1. 由于 cosx\cos x 的周期为 2π2\pi

  2. 对于幂函数 cos3x\cos^3 x,周期保持不变

  3. 因此 cos3x\cos^3 x 的周期为 2π2\pi

答案: (B) 2π2\pi

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