幂三角函数
定义
幂三角函数是指形如 y=[sinx]n 或 y=[cosx]n 的函数,其中 n 为正整数。
基本形式:
- y=sinnx (正弦的幂函数)
- y=cosnx (余弦的幂函数)
- y=tannx (正切的幂函数)
性质分析
周期性
幂三角函数继承了原三角函数的周期性:
- sinnx 的周期为 2π
- cosnx 的周期为 2π
- tannx 的周期为 π
奇偶性
- 当 n 为奇数时,sinnx 是奇函数
- 当 n 为偶数时,sinnx 是偶函数
- 当 n 为奇数时,cosnx 是偶函数
- 当 n 为偶数时,cosnx 是偶函数
值域
- sinnx 的值域为 [0,1](当 n 为偶数时)或 [−1,1](当 n 为奇数时)
- cosnx 的值域为 [0,1](当 n 为偶数时)或 [−1,1](当 n 为奇数时)
常见幂三角函数
y=sin2x
这是最常见的幂三角函数之一,也称为正弦平方函数。
性质:
- 周期:2π
- 奇偶性:偶函数
- 值域:[0,1]
- 图像:始终非负,在 x=2π+kπ 处取得最大值 1,在 x=kπ 处取得最小值 0
重要公式:
sin2x=21−cos2x
y=cos2x
性质:
- 周期:2π
- 奇偶性:偶函数
- 值域:[0,1]
- 图像:始终非负,在 x=kπ 处取得最大值 1,在 x=2π+kπ 处取得最小值 0
重要公式:
cos2x=21+cos2x
y=sin3x
性质:
- 周期:2π
- 奇偶性:奇函数
- 值域:[−1,1]
- 图像:在 x=2π+kπ 处取得极值
y=cos3x
性质:
- 周期:2π
- 奇偶性:偶函数
- 值域:[−1,1]
- 图像:在 x=kπ 处取得极值
图像特征
偶数次幂
当 n 为偶数时:
- 函数值始终非负
- 图像在 x 轴上方
- 在零点处取得最小值 0
- 在极值点处取得最大值 1
奇数次幂
当 n 为奇数时:
- 函数值可以为负
- 图像跨越 x 轴
- 保持原三角函数的奇偶性
应用与意义
幂三角函数在以下领域有重要应用:
- 信号处理:用于信号调制和滤波
- 物理学:描述振动和波动现象
- 工程学:电路分析和机械振动
- 数学分析:傅里叶级数展开
幂三角函数是三角函数与幂函数的复合,理解其性质有助于掌握更复杂的函数分析。
练习题
练习 1
求函数 y=sin2x 的定义域、值域和周期。
参考答案
解题思路:
分析正弦平方函数的基本性质,利用三角函数的性质推导。
详细步骤:
-
定义域:由于 sinx 的定义域是 R,所以 sin2x 的定义域也是 R
-
值域:由于 sinx∈[−1,1],所以 sin2x∈[0,1]
-
周期:由于 sinx 的周期是 2π,所以 sin2x 的周期也是 2π
答案:
- 定义域:R
- 值域:[0,1]
- 周期:2π
练习 2
判断函数 y=cos3x 的奇偶性,并说明理由。
参考答案
解题思路:
利用奇偶函数的定义和余弦函数的性质进行分析。
详细步骤:
-
设 f(x)=cos3x
-
计算 f(−x)=cos3(−x)=[cos(−x)]3=(cosx)3=cos3x=f(x)
-
由于 f(−x)=f(x),所以 y=cos3x 是偶函数
答案:
y=cos3x 是偶函数,因为 f(−x)=f(x)
练习 3
求函数 y=sin4x+cos4x 的最小值。
参考答案
解题思路:
利用三角恒等式和配方法求解。
详细步骤:
-
利用恒等式:sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x
-
由于 sin2x+cos2x=1,所以:
sin4x+cos4x=1−2sin2xcos2x
-
利用倍角公式:sin2x=2sinxcosx,所以:
sin2xcos2x=4sin22x
-
因此:sin4x+cos4x=1−2sin22x
-
由于 sin22x∈[0,1],所以 2sin22x∈[0,21]
-
因此 1−2sin22x∈[21,1]
答案:
最小值为 21
练习 4
证明:对于任意正整数 n,函数 y=sinnx 的周期为 2π。
参考答案
解题思路:
利用周期函数的定义和正弦函数的周期性进行证明。
详细步骤:
-
设 f(x)=sinnx
-
由于 sin(x+2π)=sinx,所以:
f(x+2π)=sinn(x+2π)=[sin(x+2π)]n=(sinx)n=sinnx=f(x)
-
因此 2π 是 f(x) 的一个周期
-
假设存在更小的正周期 T,则 sinn(x+T)=sinnx 对所有 x 成立
-
这意味着 sin(x+T)=sinx 或 sin(x+T)=−sinx
-
但 sin(x+T)=−sinx 不能对所有 x 成立,所以 sin(x+T)=sinx
-
因此 T 必须是 sinx 的周期,即 T=2π
答案:
函数 y=sinnx 的最小正周期为 2π
考研真题
真题 1
【2022·数学一】设 f(x)=sin2x+cos2x,则 f(x) 的值域为( )
(A) [0,1] (B) [1,2] (C) [0,2] (D) [1,1]
参考答案
解题思路:
利用三角恒等式 sin2x+cos2x=1 求解。
详细步骤:
-
由于 sin2x+cos2x=1 对所有 x 成立
-
所以 f(x)=1 对所有 x 成立
-
因此 f(x) 的值域为 {1},即 [1,1]
答案:
(D) [1,1]
真题 2
【2021·数学二】函数 y=cos3x 的周期为( )
(A) π (B) 2π (C) 4π (D) 6π
参考答案
解题思路:
分析余弦函数的周期性和幂函数的性质。
详细步骤:
-
由于 cosx 的周期为 2π
-
对于幂函数 cos3x,周期保持不变
-
因此 cos3x 的周期为 2π
答案:
(B) 2π