无理函数

解题思路： 对于平方根函数，被开方数必须非负。

详细步骤：

1. 确定被开方数：

   • 被开方数为 $x^2 - 4$

2. 建立不等式：

   • $x^2 - 4 \geq 0$

3. 求解不等式：

   • $x^2 \geq 4$
   • $x \leq -2$ 或 $x \geq 2$

答案： 定义域为：$(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$

解题思路： 对于立方根函数，被开方数可以为任意实数。

详细步骤：

1. 确定被开方数：

   • 被开方数为 $x^3 - 8$

2. 分析立方根的性质：

   • 立方根函数对所有实数都有定义
   • 因此定义域取决于 $x^3 - 8$ 的定义域

3. 确定定义域：

   • $x^3 - 8$ 对所有实数都有定义
   • 因此 $f(x)$ 的定义域为所有实数

答案： 定义域为：$(-\infty, +\infty)$

解题思路： 对于平方根函数，被开方数必须非负。

详细步骤：

1. 确定被开方数：

   • 被开方数为 $x^2 + 2x + 1$

2. 建立不等式：

   • $x^2 + 2x + 1 \geq 0$

3. 求解不等式：

   • 注意到 $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
   • 对于任意实数 $x$，$(x + 1)^2 \geq 0$ 都成立
   • 因此不等式对所有实数都成立

答案： 定义域为：$(-\infty, +\infty)$

解题思路： 对于四次根函数，被开方数必须非负。

详细步骤：

1. 确定被开方数：

   • 被开方数为 $x^4 - 16$

2. 建立不等式：

   • $x^4 - 16 \geq 0$

3. 求解不等式：

   • $x^4 \geq 16$
   • $x^2 \geq 4$（因为 $x^4 = (x^2)^2$）
   • $x \leq -2$ 或 $x \geq 2$

答案： 定义域为：$(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$