无理函数

无理函数是包含根号运算的函数，是数学分析中的重要函数类型。它们在几何、物理、工程等领域有广泛应用。

基本定义

无理函数是指包含根号运算的函数，一般形式为： $f(x) = \sqrt[n]{g(x)}$

其中 $n$ 是正整数，$g(x)$ 是另一个函数。

常见类型

1. 平方根函数

$f(x) = \sqrt{x}$

• 定义域：$[0, +\infty)$
• 值域：$[0, +\infty)$
• 单调性：单调递增

2. 立方根函数

$f(x) = \sqrt[3]{x}$

• 定义域：$(-\infty, +\infty)$
• 值域：$(-\infty, +\infty)$
• 单调性：单调递增

3. 复合无理函数

$f(x) = \sqrt{g(x)}$

其中 $g(x)$ 是另一个函数。

基本性质

1. 定义域

对于 $f(x) = \sqrt[n]{g(x)}$：

• 当 $n$ 为偶数时，定义域为 $\{x \mid g(x) \geq 0\}$
• 当 $n$ 为奇数时，定义域为 $\{x \mid g(x) \in \mathbb{R}\}$

2. 单调性

• 如果 $g(x)$ 单调递增，且 $g(x) \geq 0$，则 $f(x)$ 单调递增
• 如果 $g(x)$ 单调递减，且 $g(x) \geq 0$，则 $f(x)$ 单调递减

3. 奇偶性

• 对于 $f(x) = \sqrt[n]{x}$：
  • 当 $n$ 为偶数时，函数为偶函数
  • 当 $n$ 为奇数时，函数为奇函数

典型例题

例题 1

求函数 $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ 的定义域。

参考答案

解题思路： 对于平方根函数，被开方数必须非负。

详细步骤：

1. 确定被开方数：

   • 被开方数为 $x^2 - 4$

2. 建立不等式：

   • $x^2 - 4 \geq 0$

3. 求解不等式：

   • $x^2 \geq 4$
   • $x \leq -2$ 或 $x \geq 2$

答案： 定义域为：$(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$

例题 2

求函数 $f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 8}$ 的定义域。

参考答案

解题思路： 对于立方根函数，被开方数可以为任意实数。

详细步骤：

1. 确定被开方数：

   • 被开方数为 $x^3 - 8$

2. 分析立方根的性质：

   • 立方根函数对所有实数都有定义
   • 因此定义域取决于 $x^3 - 8$ 的定义域

3. 确定定义域：

   • $x^3 - 8$ 对所有实数都有定义
   • 因此 $f(x)$ 的定义域为所有实数

答案： 定义域为：$(-\infty, +\infty)$

练习题

练习 1

求函数 $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1}$ 的定义域。

参考答案

解题思路： 对于平方根函数，被开方数必须非负。

详细步骤：

1. 确定被开方数：

   • 被开方数为 $x^2 + 2x + 1$

2. 建立不等式：

   • $x^2 + 2x + 1 \geq 0$

3. 求解不等式：

   • 注意到 $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
   • 对于任意实数 $x$，$(x + 1)^2 \geq 0$ 都成立
   • 因此不等式对所有实数都成立

答案： 定义域为：$(-\infty, +\infty)$

练习 2

求函数 $f(x) = \sqrt[4]{x^4 - 16}$ 的定义域。

参考答案

解题思路： 对于四次根函数，被开方数必须非负。

详细步骤：

1. 确定被开方数：

   • 被开方数为 $x^4 - 16$

2. 建立不等式：

   • $x^4 - 16 \geq 0$

3. 求解不等式：

   • $x^4 \geq 16$
   • $x^2 \geq 4$（因为 $x^4 = (x^2)^2$）
   • $x \leq -2$ 或 $x \geq 2$

答案： 定义域为：$(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$