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圆周率

古今传奇:圆周率的故事

说到数学界的”顶流”,圆周率 π\pi 必须拥有姓名!它不仅是几何学的灵魂人物,还在无数领域刷足了存在感。让我们一起走进 π\pi 的传奇世界。

圆的奥秘

  • 圆周率π\pi 是圆的周长与直径的比值,无论多大的圆,这个比值都恒定不变。
  • 定义公式π=Cd\pi = \frac{C}{d} 其中 CC 是圆的周长,dd 是直径。

历史长河中的 π\pi

  • 早在公元前 2000 年,古巴比伦人就用 3.1253.125 近似 π\pi,古埃及人用 3.16053.1605
  • 古希腊数学家阿基米德首次用割圆法精确估算 π\pi,得出 3.1408<π<3.14293.1408 < \pi < 3.1429
  • 中国的祖冲之在公元 5 世纪给出 π3.1415926\pi \approx 3.1415926,领先世界千年!
  • 18 世纪,莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)首次用希腊字母 π\pi 表示这个常数。
  • 现代计算机让 π\pi 的小数点后已知位数突破万亿,数学家们依然乐此不疲。

深入了解圆周率

定义与常用近似值

  • π\pi 是无理数,约等于 3.141592653589793...3.141592653589793...
  • 常用近似值:3.143.1422/722/7355/113355/113(祖率)
  • π\pi 不能表示为两个整数的比,也不是任何有理系数多项式的根(超越数)

经典公式

  • 圆的面积S=πr2S = \pi r^2
  • 圆的周长C=2πrC = 2\pi r
  • 欧拉公式eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0 这条公式把 eeiiπ\pi、1、0 五大数学常数串成一串”数学项链”,美得令人窒息。
  • 莱布尼茨级数π4=113+1517+\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots
  • 高斯积分+ex2dx=π\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}

趣味事实

  • π\pi 的小数部分无限不循环,至今未发现任何规律。
  • π\pi 日是每年 3 月 14 日(3.14),数学爱好者的节日。
  • π\pi 在概率论、数论、物理学、工程学等领域无处不在。
  • π\pi 还是”背诵大赛”的主角,世界纪录已超 10 万位!

数学意义与性质

  • π\pi 是无理数,也是超越数 π\pi 不能表示为两个整数的比,也不是任何有理系数多项式的根。
  • π\pi 与三角函数密不可分 三角函数的周期、单位圆、傅里叶分析等都离不开 π\pi
  • π\pi 连接了几何、分析、概率、数论等众多领域
  • π\pi 的小数部分无限不循环 π=3.1415926535897932384626433832795\pi = 3.1415926535897932384626433832795\ldots
  • π\pi 与欧拉公式 eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0 这条公式被誉为”数学中的皇冠上的明珠”。

习题

习题 1

写出 π\pi 的定义和常用近似值。

答案与解析

定义:π\pi 是圆的周长与直径的比值。常用近似值有 3.143.1422/722/7355/113355/113

习题 2

判断 π\pi 是否为有理数,并说明理由。

答案与解析

π\pi 是无理数,且是超越数。

习题 3

写出一个与 π\pi 有关的经典级数。

答案与解析

莱布尼茨级数:π4=113+1517+\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots


考研真题

真题 1

【2021·数学一】下列哪个数是无理数?
(A) 2\sqrt{2}
(B) π\pi
(C) ee
(D) 以上都是

答案与解析

(D) 以上都是。

真题 2

【2019·数学二】写出圆的面积和周长公式。

答案与解析

面积公式:S=πr2S = \pi r^2;周长公式:C=2πrC = 2\pi r

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