圆周率
古今传奇:圆周率的故事
说到数学界的”顶流”,圆周率 必须拥有姓名!它不仅是几何学的灵魂人物,还在无数领域刷足了存在感。让我们一起走进 的传奇世界。
圆的奥秘
- 圆周率: 是圆的周长与直径的比值,无论多大的圆,这个比值都恒定不变。
- 定义公式: 其中 是圆的周长, 是直径。
历史长河中的
- 早在公元前 2000 年,古巴比伦人就用 近似 ,古埃及人用 。
- 古希腊数学家阿基米德首次用割圆法精确估算 ,得出 。
- 中国的祖冲之在公元 5 世纪给出 ,领先世界千年!
- 18 世纪,莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)首次用希腊字母 表示这个常数。
- 现代计算机让 的小数点后已知位数突破万亿,数学家们依然乐此不疲。
深入了解圆周率
定义与常用近似值
- 是无理数,约等于
- 常用近似值:、、(祖率)
- 不能表示为两个整数的比,也不是任何有理系数多项式的根(超越数)
经典公式
- 圆的面积:
- 圆的周长:
- 欧拉公式: 这条公式把 、、、1、0 五大数学常数串成一串”数学项链”,美得令人窒息。
- 莱布尼茨级数:
- 高斯积分:
趣味事实
- 的小数部分无限不循环,至今未发现任何规律。
- 日是每年 3 月 14 日(3.14),数学爱好者的节日。
- 在概率论、数论、物理学、工程学等领域无处不在。
- 还是”背诵大赛”的主角,世界纪录已超 10 万位!
数学意义与性质
- 是无理数,也是超越数 不能表示为两个整数的比,也不是任何有理系数多项式的根。
- 与三角函数密不可分 三角函数的周期、单位圆、傅里叶分析等都离不开 。
- 连接了几何、分析、概率、数论等众多领域
- 的小数部分无限不循环
- 与欧拉公式 这条公式被誉为”数学中的皇冠上的明珠”。
习题
习题 1
写出 的定义和常用近似值。
答案与解析
定义: 是圆的周长与直径的比值。常用近似值有 、、。
习题 2
判断 是否为有理数,并说明理由。
答案与解析
是无理数,且是超越数。
习题 3
写出一个与 有关的经典级数。
答案与解析
莱布尼茨级数:
考研真题
真题 1
【2021·数学一】下列哪个数是无理数?
(A)
(B)
(C)
(D) 以上都是
答案与解析
(D) 以上都是。
真题 2
【2019·数学二】写出圆的面积和周长公式。
答案与解析
面积公式:;周长公式:。