反函数

反函数是函数运算中的重要概念，它描述了函数的逆运算关系。

反函数：若函数 $y = f(x)$ 是单调的，则它存在反函数，记作 $x = f^{-1}(y)$ 或 $y = f^{-1}(x)$ 。

反函数具有以下重要性质：

如果 $y = f^{-1}(x)$ ，则：

$\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

练习题

求函数 $y = 2x + 1$ 的反函数。

参考答案

解题思路：按照求反函数的步骤进行。

详细步骤：

答案：反函数为 $y = \frac{x - 1}{2}$ ，定义域为 $\mathbb{R}$ 。

求函数 $y = x^2 + 2$ ( $x \geq 0$ ) 的反函数。

参考答案

解题思路：按照求反函数的步骤进行，注意定义域的限制。

详细步骤：

从 $y = x^2 + 2$ 中解出 x： $y - 2 = x^2$ $x = \sqrt{y - 2}$ （因为 $x \geq 0$ ）
交换 x 和 y： $y = \sqrt{x - 2}$
确定定义域：原函数 $y = x^2 + 2$ ( $x \geq 0$ ) 的值域是 $[2, +\infty)$ ，所以反函数的定义域是 $[2, +\infty)$ 。

答案：反函数为 $y = \sqrt{x - 2}$ ，定义域为 $[2, +\infty)$ 。

求函数 $y = \frac{1}{x}$ ( $x \neq 0$ ) 的反函数。

参考答案

解题思路：按照求反函数的步骤进行。

详细步骤：

从 $y = \frac{1}{x}$ 中解出 x： $xy = 1$ $x = \frac{1}{y}$
交换 x 和 y： $y = \frac{1}{x}$
确定定义域：原函数 $y = \frac{1}{x}$ ( $x \neq 0$ ) 的值域是 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ ，所以反函数的定义域也是 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ 。

答案：反函数为 $y = \frac{1}{x}$ ，定义域为 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ 。

注意：这个函数的反函数就是它自己，这种函数称为自反函数。