反函数

反函数是函数运算中的重要概念，它描述了函数的逆运算关系。

定义

反函数的定义

若函数 $y = f(x)$ 是单调的，则它存在反函数，记作 $x = f^{-1}(y)$ 或 $y = f^{-1}(x)$ 。

性质

反函数具有以下重要性质：

对称性：原函数和反函数的图形关于直线 $y = x$ 对称
定义域：反函数的定义域是原函数的值域
值域：反函数的值域是原函数的定义域
逆运算： $(f^{-1})^{-1} = f$ （反函数的反函数是原函数）
单调性：反函数与原函数的单调性相同

求反函数的方法

第一步：从 $y = f(x)$ 中解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式
第二步：将 $x$ 和 $y$ 互换，得到反函数的习惯表示法
第三步：确定反函数的定义域（即原函数的值域）

常见函数的反函数

原函数	反函数	定义域
$y = x^2$ ( $x \geq 0$ )	$y = \sqrt{x}$	$[0, +\infty)$
$y = e^x$	$y = \ln x$	$(0, +\infty)$
$y = \sin x$ ( $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ )	$y = \arcsin x$	$[-1, 1]$
$y = \cos x$ ( $x \in [0, \pi]$ )	$y = \arccos x$	$[-1, 1]$
$y = \tan x$ ( $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ )	$y = \arctan x$	$\mathbb{R}$

反函数的求导

如果 $y = f^{-1}(x)$ ，则：

$\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

练习题

练习 1

求函数 $y = 2x + 1$ 的反函数。

参考答案

解题思路：按照求反函数的步骤进行。

详细步骤：

从 $y = 2x + 1$ 中解出 x： $y - 1 = 2x$ $x = \frac{y - 1}{2}$
交换 x 和 y： $y = \frac{x - 1}{2}$
确定定义域：原函数 $y = 2x + 1$ 的值域是 $\mathbb{R}$ ，所以反函数的定义域也是 $\mathbb{R}$ 。

答案：反函数为 $y = \frac{x - 1}{2}$ ，定义域为 $\mathbb{R}$ 。

练习 2

求函数 $y = x^2 + 2$ ( $x \geq 0$ ) 的反函数。

参考答案

解题思路：按照求反函数的步骤进行，注意定义域的限制。

详细步骤：

从 $y = x^2 + 2$ 中解出 x： $y - 2 = x^2$ $x = \sqrt{y - 2}$ （因为 $x \geq 0$ ）
交换 x 和 y： $y = \sqrt{x - 2}$
确定定义域：原函数 $y = x^2 + 2$ ( $x \geq 0$ ) 的值域是 $[2, +\infty)$ ，所以反函数的定义域是 $[2, +\infty)$ 。

答案：反函数为 $y = \sqrt{x - 2}$ ，定义域为 $[2, +\infty)$ 。

练习 3

求函数 $y = \frac{1}{x}$ ( $x \neq 0$ ) 的反函数。

参考答案

解题思路：按照求反函数的步骤进行。

详细步骤：

从 $y = \frac{1}{x}$ 中解出 x： $xy = 1$ $x = \frac{1}{y}$
交换 x 和 y： $y = \frac{1}{x}$
确定定义域：原函数 $y = \frac{1}{x}$ ( $x \neq 0$ ) 的值域是 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ ，所以反函数的定义域也是 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ 。

答案：反函数为 $y = \frac{1}{x}$ ，定义域为 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ 。

注意：这个函数的反函数就是它自己，这种函数称为自反函数。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x)$	数学符号	f of x	函数记号，表示以 $x$ 为自变量的函数
$f^{-1}(x)$	数学符号	f inverse of x	函数 $f(x)$ 的反函数
$y = f(x)$	数学符号	y equals f of x	函数的一般表示形式
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集，所有实数的集合
$\mathbb{R} \setminus \{0\}$	数学符号	R minus zero	表示除去 0 的实数集
$[a, +\infty)$	数学符号	半开区间	左闭右无穷区间
$(a, +\infty)$	数学符号	开区间	左开右无穷区间
$\sqrt{x}$	数学符号	根号	表示 $x$ 的平方根
$\ln x$	数学符号	natural logarithm of x	自然对数函数
$\arcsin x$	数学符号	arc sine x	反正弦函数
$\arccos x$	数学符号	arc cosine x	反余弦函数
$\arctan x$	数学符号	arc tangent x	反正切函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
反函数	inverse function	/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən/	函数的逆运算关系
自反函数	self-inverse function	/self ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən/	反函数等于自身的函数
单调性	monotonicity	/ˌmɒnəʊtəˈnɪsɪti/	函数值随自变量单调变化的性质
对称性	symmetry	/ˈsɪmɪtri/	函数图像的对称性质
逆运算	inverse operation	/ɪnˈvɜːs ˌɒpəˈreɪʃən/	函数的逆操作
链式法则	chain rule	/tʃeɪn ruːl/	复合函数求导的法则

上一章节复合函数学习复合函数的定义、性质和求法，掌握复合函数的定义域确定方法。下一章节分段函数学习分段函数的定义、构造和性质，掌握分段函数的分析方法。

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