函数的基本概念

函数是描述变量之间依赖关系的基本数学模型，是高等数学的核心概念之一。

函数的定义

函数的定义

设有两个变量 $x$ 和 $y$，如果对于变量 $x$ 在某个范围 $D$ 内的每一个值，变量 $y$ 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 $y$ 是 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$。其中，$x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，$D$ 称为函数的定义域。

函数的"函"字是什么意思？在汉语中，"函"字还可以组成哪些词汇？

“函”字是一个象形字，在古文字中，它的形状像是一个装东西的匣子或盒子。在古汉语中，“函”字最初指的是”匣子”、“盒子”的意思，后来引申为”包含”、“容纳”的含义。在数学中，函数（function）的”函”字体现了这种”包含”和”对应”的关系——一个函数就像一个盒子，对于每个输入值（自变量），都能从中”取出”唯一确定的输出值（因变量）。

在汉语中，“函”字还可以组成以下词汇：

• 信函：指书信，体现了”函”作为容器的含义（信件装在信封里）
• 函数：数学中的对应关系，体现了输入和输出的对应
• 公函：官方往来的信件
• 函件：泛指信件、文件
• 函授：通过书信进行教学的方式
• 函谷关：古代关隘名称（函谷指山谷像匣子一样）

这些词汇都体现了”函”字”包含”、“容纳”的核心含义，而数学中的”函数”则进一步强调了这种一对一的对应关系。

函数的表示方法

函数有多种表示方法，每种方法都有其适用场景：

1. 解析法（公式法）

用一个数学式子来表示函数关系，如 $y = x^2 + 1$。这是最常用的方法。

优点：

• 精确表达函数关系
• 便于进行数学运算
• 可以清楚地看出函数的性质

缺点：

• 某些复杂函数难以用简单公式表示
• 对于分段函数表达不够直观

2. 表格法

将自变量和对应的函数值列成一个表格。

x	-1	0	1	2	3
f(x)	4	1	0	1	4

通过表格法，我们可以清晰地看到每个自变量对应的函数值，便于分析函数的变化规律。

优点：

• 直观显示具体的函数值
• 便于查找特定点的函数值
• 适合处理离散数据

缺点：

• 只能表示有限个点的函数值
• 无法看出函数的整体性质
• 表格过大时不便使用

3. 图像法

用坐标平面上的曲线来表示函数关系。

优点：

• 直观显示函数的整体形状
• 便于观察函数的性质（单调性、极值等）
• 适合分析函数的几何特征

缺点：

• 精确度有限
• 难以进行精确的数值计算
• 复杂函数图像可能难以绘制

函数的定义域

函数的定义域是指自变量的取值范围，即函数有意义的所有自变量值的集合。确定函数的定义域是研究函数的第一步，也是非常重要的一步。

定义域的基本概念

函数的定义域

定义域（Domain） 是指使函数有意义的所有自变量值的集合，通常用 $D(f)$ 或 $D$ 表示。

对于函数 $y = f(x)$，定义域就是所有能使函数表达式有意义的 $x$ 值的集合。

求函数定义域的方法

1. 分式函数的定义域

对于分式函数，分母不能为零。

例1：求函数 $f(x) = \frac{1}{x-2}$ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要分母 $x - 2 \neq 0$，即 $x \neq 2$。

因此，定义域为 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$。

2. 根式函数的定义域

对于偶次根式，被开方数必须非负。

例2：求函数 $f(x) = \sqrt{x-1}$ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要 $x - 1 \geq 0$，即 $x \geq 1$。

因此，定义域为 $[1, +\infty)$。

例3：求函数 $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要 $4 - x^2 \geq 0$，即 $x^2 \leq 4$。

解不等式：$-2 \leq x \leq 2$。

因此，定义域为 $[-2, 2]$。

3. 对数函数的定义域

对于对数函数，真数必须大于零。

例4：求函数 $f(x) = \log_2(x+3)$ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要 $x + 3 > 0$，即 $x > -3$。

因此，定义域为 $(-3, +\infty)$。

4. 复合条件的定义域

当函数包含多个限制条件时，需要同时满足所有条件。

例5：求函数 $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要同时满足：

• $x - 1 \geq 0$（根式的条件）
• $x - 3 \neq 0$（分式的条件）

即：

• $x \geq 1$
• $x \neq 3$

因此，定义域为 $[1, 3) \cup (3, +\infty)$。

定义域的表示方法

定义域可以用以下几种方式表示：

1. 区间表示法：$[a, b]$、$(a, b)$、$[a, +\infty)$ 等
2. 集合表示法：$\{x | x \geq 1, x \neq 3\}$
3. 不等式表示法：$x \geq 1$ 且 $x \neq 3$

常见函数的定义域

函数类型	一般形式	定义域条件
多项式函数	$f(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$	$\mathbb{R}$（全体实数）
分式函数	$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$	$Q(x) \neq 0$
偶次根式函数	$f(x) = \sqrt[2n]{g(x)}$	$g(x) \geq 0$
奇次根式函数	$f(x) = \sqrt[2n+1]{g(x)}$	$\mathbb{R}$
对数函数	$f(x) = \log_a g(x)$	$g(x) > 0$，$a > 0$ 且 $a \neq 1$

函数的值域

函数的值域是指函数所有可能取到的函数值的集合，即因变量的取值范围。求函数的值域是函数研究中的重要内容，通常需要在确定定义域的基础上进行。

值域的基本概念

函数的值域

值域（Range） 是指函数所有可能的函数值组成的集合，通常用 $R(f)$ 或 $R$ 表示。

对于函数 $y = f(x)$，值域就是所有可能的 $y$ 值的集合。

求函数值域的方法

1. 直接法（观察法）

对于简单的函数，可以通过观察函数的性质直接得出值域。

例1：求函数 $f(x) = x^2$（$x \in \mathbb{R}$）的值域。

解：因为 $x^2 \geq 0$ 对所有实数 $x$ 成立，且当 $x$ 取遍所有实数时，$x^2$ 可以取到所有非负实数。

因此，值域为 $[0, +\infty)$。

2. 配方法

对于二次函数，通过配方可以找到函数的最值，从而确定值域。

例2：求函数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$（$x \in \mathbb{R}$）的值域。

解：将函数配方： $f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1$

因为 $(x-2)^2 \geq 0$，所以 $f(x) = (x-2)^2 + 1 \geq 1$。

当 $x = 2$ 时，$f(x)$ 取得最小值 1。

因此，值域为 $[1, +\infty)$。

3. 换元法（反函数法）

通过设 $y = f(x)$，解出 $x = g(y)$，然后根据 $x$ 的定义域确定 $y$ 的范围。

例3：求函数 $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$（$x \neq 2$）的值域。

解：设 $y = \frac{x+1}{x-2}$，解关于 $x$ 的方程：

$y(x-2) = x+1$ $yx - 2y = x + 1$ $yx - x = 2y + 1$ $x(y-1) = 2y + 1$

当 $y \neq 1$ 时，$x = \frac{2y+1}{y-1}$。

由于原函数的定义域要求 $x \neq 2$，所以： $\frac{2y+1}{y-1} \neq 2$ $2y + 1 \neq 2(y-1)$ $2y + 1 \neq 2y - 2$ $1 \neq -2$

这个不等式恒成立，所以 $y$ 可以取除 1 以外的所有实数。

因此，值域为 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$。

4. 单调性法

利用函数的单调性确定函数在给定区间上的最值，从而求出值域。

例4：求函数 $f(x) = 2x - 1$（$x \in [1, 3]$）的值域。

解：函数 $f(x) = 2x - 1$ 是递增函数。

在区间 $[1, 3]$ 上：

• 当 $x = 1$ 时，$f(1) = 2 \times 1 - 1 = 1$
• 当 $x = 3$ 时，$f(3) = 2 \times 3 - 1 = 5$

因此，值域为 $[1, 5]$。

5. 图像法

通过观察函数图像确定函数值的范围。

例5：求函数 $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ 的值域。

解：首先确定定义域：$4 - x^2 \geq 0$，即 $x^2 \leq 4$，所以 $x \in [-2, 2]$。

因为 $0 \leq 4 - x^2 \leq 4$（当 $x \in [-2, 2]$ 时），所以： $0 \leq \sqrt{4-x^2} \leq 2$

• 当 $x = \pm 2$ 时，$f(x) = 0$
• 当 $x = 0$ 时，$f(x) = 2$

因此，值域为 $[0, 2]$。

常见函数的值域

函数类型	一般形式	值域
一次函数	$f(x) = ax + b$（$a \neq 0$）	$\mathbb{R}$
二次函数	$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a > 0$）	$[\frac{4ac-b^2}{4a}, +\infty)$
二次函数	$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a < 0$）	$(-\infty, \frac{4ac-b^2}{4a}]$
反比例函数	$f(x) = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$）	$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$
指数函数	$f(x) = a^x$（$a > 1$）	$(0, +\infty)$
对数函数	$f(x) = \log_a x$（$a > 1$）	$\mathbb{R}$

求值域的注意事项

1. 先确定定义域：值域的求解必须在定义域的基础上进行
2. 选择合适的方法：根据函数的特点选择最适合的求值域方法
3. 注意端点值：对于有界函数，要特别注意端点处的函数值
4. 验证结果：求出值域后要验证是否所有值都能取到

练习题

练习 1

判断下列关系是否为函数：

• $y = \pm \sqrt{x}$
• $y = x^2$
• $x^2 + y^2 = 1$

参考答案

分析：

1. $y = \pm \sqrt{x}$ 不是函数，因为对于 $x > 0$，y 有两个值（正负根号），违反了函数的单值性。
2. $y = x^2$ 是函数，因为对于每个实数 x，都有唯一的 y 值与之对应。
3. $x^2 + y^2 = 1$ 不是函数，因为对于 $-1 < x < 1$，y 有两个值（正负根号），违反了函数的单值性。

答案：只有 $y = x^2$ 是函数。

练习 2

求函数 $f(x) = \frac{1}{x-2} + \sqrt{x+1}$ 的定义域。

参考答案

解题思路： 需要分别考虑两个部分：

• 分式 $\frac{1}{x-2}$：分母不能为零
• 根式 $\sqrt{x+1}$：被开方数必须大于等于零

详细步骤：

1. 对于 $\frac{1}{x-2}$，要求 $x-2 \neq 0$，即 $x \neq 2$
2. 对于 $\sqrt{x+1}$，要求 $x+1 \geq 0$，即 $x \geq -1$
3. 将两个条件联立：$x \geq -1$ 且 $x \neq 2$

答案：定义域为 $[-1, 2) \cup (2, +\infty)$

练习 3

已知函数 $f(x) = \begin{cases} x+1, & x \leq 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases}$，求 $f(-2)$、$f(0)$ 和 $f(3)$ 的值。

参考答案

解题思路： 这是一个分段函数，需要根据自变量 x 的取值范围选择相应的函数表达式。

详细步骤：

1. 对于 $f(-2)$：因为 $-2 \leq 0$，所以使用第一个表达式 $f(x) = x+1$ $f(-2) = -2 + 1 = -1$

2. 对于 $f(0)$：因为 $0 \leq 0$，所以使用第一个表达式 $f(x) = x+1$ $f(0) = 0 + 1 = 1$

3. 对于 $f(3)$：因为 $3 > 0$，所以使用第二个表达式 $f(x) = x^2$ $f(3) = 3^2 = 9$

答案：$f(-2) = -1$，$f(0) = 1$，$f(3) = 9$

练习 4

某商品的销售量 $Q$（件）与价格 $P$（元）之间存在函数关系 $Q = 200 - 10P$，其中价格 $P$ 的取值范围是 $[5, 15]$ 元。

1. 求该函数的定义域和值域
2. 当价格为 8 元时，销售量是多少？
3. 若要使销售量不少于 100 件，价格应控制在什么范围内？

参考答案

解题思路： 这是一道应用题，需要结合实际意义理解函数的定义域和值域，并进行相关计算。

详细步骤：

1. 定义域和值域：

   • 定义域已给出：$P \in [5, 15]$
   • 当 $P = 5$ 时，$Q = 200 - 10 \times 5 = 150$
   • 当 $P = 15$ 时，$Q = 200 - 10 \times 15 = 50$
   • 因为函数 $Q = 200 - 10P$ 在定义域上单调递减，所以值域为 $[50, 150]$

2. 当价格为 8 元时的销售量： $Q = 200 - 10 \times 8 = 200 - 80 = 120$（件）

3. 销售量不少于 100 件的价格范围： 需要求解不等式：$200 - 10P \geq 100$ $200 - 100 \geq 10P$ $100 \geq 10P$ $P \leq 10$

   结合原定义域 $[5, 15]$，得到价格应控制在 $[5, 10]$ 元范围内。

答案：

1. 定义域：$[5, 15]$，值域：$[50, 150]$
2. 当价格为 8 元时，销售量是 120 件
3. 价格应控制在 $[5, 10]$ 元范围内

练习 5

求下列函数的定义域：

1. $f(x) = \log_2(3x - 6)$
2. $g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$
3. $h(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 9}$

参考答案

解题思路： 分别根据对数函数、奇次根式函数、复合函数的定义域要求进行求解。

详细步骤：

1. 对于 $f(x) = \log_2(3x - 6)$：

   • 对数函数要求真数大于 0
   • $3x - 6 > 0$
   • $3x > 6$
   • $x > 2$
   • 定义域：$(2, +\infty)$

2. 对于 $g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$：

   • 奇次根式函数对被开方数没有限制
   • 定义域：$\mathbb{R}$

3. 对于 $h(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 9}$：

   • 根式要求：$x + 2 \geq 0$，即 $x \geq -2$
   • 分母要求：$x^2 - 9 \neq 0$，即 $x \neq \pm 3$
   • 联立条件：$x \geq -2$ 且 $x \neq 3$（$x = -3$ 已被 $x \geq -2$ 排除）
   • 定义域：$[-2, 3) \cup (3, +\infty)$

答案：

1. $(2, +\infty)$
2. $\mathbb{R}$
3. $[-2, 3) \cup (3, +\infty)$

练习 6

用配方法求函数 $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ 的值域。

参考答案

解题思路： 对二次函数进行配方，找到顶点，确定最值，从而求出值域。

详细步骤：

将函数配方： $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ $= -(x^2 - 4x) - 1$ $= -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1$ $= -(x - 2)^2 + 4 - 1$ $= -(x - 2)^2 + 3$

分析：

• 因为 $(x - 2)^2 \geq 0$，所以 $-(x - 2)^2 \leq 0$
• 因此 $f(x) = -(x - 2)^2 + 3 \leq 3$
• 当 $x = 2$ 时，$f(x)$ 取得最大值 3
• 当 $x$ 趋向于 $\pm\infty$ 时，$f(x)$ 趋向于 $-\infty$

答案：值域为 $(-\infty, 3]$

练习 7

用换元法求函数 $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$（$x \neq -3$）的值域。

参考答案

解题思路： 设 $y = f(x)$，解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式，然后根据 $x$ 的定义域确定 $y$ 的范围。

详细步骤：

设 $y = \frac{2x - 1}{x + 3}$，解关于 $x$ 的方程：

$y(x + 3) = 2x - 1$ $yx + 3y = 2x - 1$ $yx - 2x = -1 - 3y$ $x(y - 2) = -1 - 3y$

当 $y \neq 2$ 时： $x = \frac{-1 - 3y}{y - 2} = \frac{1 + 3y}{2 - y}$

由于原函数的定义域要求 $x \neq -3$，所以： $\frac{1 + 3y}{2 - y} \neq -3$

解这个不等式： $1 + 3y \neq -3(2 - y)$ $1 + 3y \neq -6 + 3y$ $1 \neq -6$

这个不等式恒成立，所以 $y$ 可以取除 2 以外的所有实数。

验证 $y = 2$ 是否可能： 当 $y = 2$ 时，原方程变为 $x(2 - 2) = -1 - 3 \times 2$，即 $0 = -7$，无解。

答案：值域为 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

练习 8

已知函数的图像如下表所示，请写出该函数的解析式，并求其定义域和值域。

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	4	1	0	1	4

参考答案

解题思路： 观察表格中 $x$ 和 $y$ 的对应关系，寻找规律，确定函数的解析式。

详细步骤：

观察数据规律：

• 当 $x = 0$ 时，$y = 0$
• 当 $x = \pm 1$ 时，$y = 1$
• 当 $x = \pm 2$ 时，$y = 4$

发现 $y = x^2$，验证：

• $(-2)^2 = 4$ ✓
• $(-1)^2 = 1$ ✓
• $0^2 = 0$ ✓
• $1^2 = 1$ ✓
• $2^2 = 4$ ✓

根据表格数据：

• 定义域：$\{-2, -1, 0, 1, 2\}$
• 值域：$\{0, 1, 4\}$

答案：

• 解析式：$f(x) = x^2$
• 定义域：$\{-2, -1, 0, 1, 2\}$
• 值域：$\{0, 1, 4\}$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x)$	数学符号	f of x	函数记号，表示以 $x$ 为自变量的函数
$D$	数学符号	D	函数的定义域
$D(f)$	数学符号	D of f	函数 $f$ 的定义域
$R$	数学符号	R	函数的值域
$R(f)$	数学符号	R of f	函数 $f$ 的值域
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集，所有实数的集合
$[a, b]$	数学符号	闭区间	包含端点的区间记号
$(a, b)$	数学符号	开区间	不包含端点的区间记号
$[a, b)$	数学符号	半开区间	左闭右开区间记号
$(a, b]$	数学符号	半开区间	左开右闭区间记号
$(-\infty, +\infty)$	数学符号	无穷区间	表示所有实数的区间记号
$\cup$	数学符号	并集符号	表示两个集合的并集
$\sqrt{x}$	数学符号	根号	表示 $x$ 的平方根
$\sqrt[n]{x}$	数学符号	n 次根号	表示 $x$ 的 $n$ 次方根
$\log_a x$	数学符号	对数	表示以 $a$ 为底 $x$ 的对数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
函数	function	/ˈfʌŋkʃən/	描述变量之间依赖关系的数学模型，记作 $y = f(x)$
自变量	independent variable	/ɪndɪˈpendənt ˈveəriəbl/	函数中的输入变量，通常用 $x$ 表示
因变量	dependent variable	/dɪˈpendənt ˈveəriəbl/	函数中的输出变量，通常用 $y$ 表示
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围
解析法	analytical method	/ænəˈlɪtɪkəl ˈmeθəd/	用数学公式表示函数的方法
图像法	graphical method	/ˈɡræfɪkəl ˈmeθəd/	用坐标平面上的曲线表示函数的方法
表格法	tabular method	/ˈtæbjələ ˈmeθəd/	用表格表示函数的方法
分式函数	rational function	/ˈræʃənəl ˈfʌŋkʃən/	分子分母都是多项式的函数
根式函数	radical function	/ˈrædɪkəl ˈfʌŋkʃən/	含有根号的函数
对数函数	logarithmic function	/ˌlɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/	以对数为基础的函数
区间表示法	interval notation	/ˈɪntəvəl nəʊˈteɪʃən/	用区间符号表示数集的方法
集合表示法	set notation	/set nəʊˈteɪʃən/	用集合符号表示数集的方法
配方法	completing the square	/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/	通过配方求二次函数值域的方法
换元法	substitution method	/ˌsʌbstɪˈtjuːʃən ˈmeθəd/	通过变量替换求函数值域的方法
单调性	monotonicity	/ˌmɒnəʊtəˈnɪsɪti/	函数在某区间内保持递增或递减的性质
反函数法	inverse function method	/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən ˈmeθəd/	通过求反函数来确定值域的方法

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