正弦函数

定义

正弦函数的定义

在直角三角形中，设一个锐角为 $\theta$，则正弦定义为：

$$\sin \theta = \frac{{对边}}{{斜边}}$$

其中，“对边”是指与角 $\theta$ 相对的那条直角边，“斜边”是三角形的最长边。

性质

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1, 1]$
• 周期：$2\pi$
• 奇偶性：奇函数
• 单调性：在 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上递增
• 对称性：关于原点对称

图像

发散思维

1. 弦是什么

弦（xián，chord）：在圆中，连接圆上任意两点的线段称为弦。通过圆心的弦叫做直径，是最长的弦。

历史背景：早在公元前 1800 年，古巴比伦人就使用弦长表解决天文和测量问题。古希腊数学家希帕恰斯和托勒密创建了详细的弦表，记录给定圆心角对应的弦长。

弦与正弦的关系：正弦函数（sine）的名称来源于”弦”的概念。在圆中，从圆心向弦的中点作垂线，将弦分成两等份，这一半的弦长就是现代正弦函数的雏形。后来印度天文学家将”半弦”的概念进一步发展，形成了现代的正弦函数。

2. “sine” 这个名称是怎么来的

正弦函数的英文名称”sine”经历了一段有趣的”翻译旅行”：

• 印度：公元 5 世纪，印度天文学家阿耶波多创造了”jya”（正弦）一词
• 阿拉伯：“jya”音译为阿拉伯文的”jiba”，但被误读为”jaib”（意为”湾”或”海湾”）
• 欧洲：12 世纪，“jaib”被翻译成拉丁文”sinus”（也意为”湾”）
• 现代：最终演变为英语”sine”

这就是为什么正弦函数的名称是”音译+误译”的产物，原本与”弦”相关，但在翻译过程中变成了”湾”的含义。

习题

习题 1

已知 $y = \sin x$，求其定义域和值域。

答案与解析

定义域：$\mathbb{R}$；值域：$[-1, 1]$。

习题 2

画出 $y = \sin x$ 和 $y = \cos x$ 的大致图像，并比较它们的周期性和对称性。

答案与解析

$y = \sin x$ 和 $y = \cos x$ 周期均为 $2\pi$，$\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数。

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考研真题

真题 1

【2021·数学一】已知 $y = \sin x$，求其最小正周期。

答案与解析

最小正周期为 $2\pi$。

真题 2

【2019·数学二】下列函数中，哪些是奇函数？
(A) $y = \sin x$
(B) $y = \cos x$
(C) $y = \tan x$
(D) $y = x^2$

答案与解析

(A)、(C) 是奇函数，(B)、(D) 不是。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\theta$	希腊字母	Theta（西塔）	表示角的大小（锐角）
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示正弦函数的周期（$2\pi$）
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集，正弦函数的定义域

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
正弦函数	sine function	/saɪn ˈfʌŋkʃən/	三角函数之一，记作 $\sin x$
正弦	sine	/saɪn/	函数名称，简写为 $\sin$
对边	opposite side	/ˈɒpəzɪt saɪd/	直角三角形中与角相对的直角边
斜边	hypotenuse	/haɪˈpɒtənjuːz/	直角三角形中最长的边
周期	period	/ˈpɪəriəd/	函数值重复出现的最小间隔
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围
奇函数	odd function	/ɒd ˈfʌŋkʃən/	满足 $f(-x) = -f(x)$ 的函数
弦（xián）	chord	/kɔːd/	圆中连接圆上任意两点的线段

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