函数的奇偶性

奇偶性

前提：函数的定义域关于原点对称。

定义：

• 偶函数：如果 $f(-x) = f(x)$，则 $f(x)$ 为偶函数，其图形关于 y 轴对称。
• 奇函数：如果 $f(-x) = -f(x)$，则 $f(x)$ 为奇函数，其图形关于原点对称。

几何特征

• 偶函数的图像关于 y 轴对称
• 奇函数的图像关于原点对称

性质

• 偶函数 × 偶函数 = 偶函数
• 奇函数 × 奇函数 = 偶函数
• 偶函数 × 奇函数 = 奇函数
• 偶函数 + 偶函数 = 偶函数
• 奇函数 + 奇函数 = 奇函数
• 偶函数 + 奇函数 = 一般函数（非奇非偶）

常见例子

• 偶函数：$x^2$、$x^4$、$\cos x$、$|x|$
• 奇函数：$x$、$x^3$、$\sin x$、$\tan x$

判断方法

1. 定义法：直接利用奇偶性的定义进行判断
2. 图像法：观察函数图像是否具有对称性
3. 代数法：通过计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较

重要性质

• 奇函数在原点处的函数值为零（如果原点在定义域内）
• 偶函数的导数是奇函数
• 奇函数的导数是偶函数

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练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^3 + x$ 的奇偶性。

参考答案

解题思路： 需要计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较。

详细步骤：

1. 计算 $f(-x)$： $f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x)$
2. 比较： 因为 $f(-x) = -f(x)$，所以该函数是奇函数。

答案：该函数是奇函数。

练习 2

判断函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 的奇偶性。

参考答案

解题思路： 需要计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较。

详细步骤：

1. 计算 $f(-x)$： $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) + 1 = x^2 - 2x + 1$
2. 比较： $f(-x) \neq f(x)$ 且 $f(-x) \neq -f(x)$
3. 因此该函数既不是奇函数也不是偶函数。

答案：该函数既不是奇函数也不是偶函数。