有理函数

有理函数是数学中重要的函数类型，由两个多项式的比值构成。它们在数学分析、工程计算等领域有广泛应用。

基本定义

有理函数是指形如 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 的函数，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式，且 $Q(x) \neq 0$ 。

$f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_1 x + b_0}$

其中 $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$ 和 $b_m, b_{m-1}, \ldots, b_0$ 是常数，且 $b_m \neq 0$ 。

注意：有理函数的定义域是使分母不为零的所有实数，即 $Q(x) \neq 0$ 的所有 $x$ 值。

有理函数的定义域为： $\{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}$

有理函数的零点满足： $P(x) = 0$ 且 $Q(x) \neq 0$

当 $Q(x) = 0$ 时，函数在该点有垂直渐近线。

求函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$ 的定义域和零点。

参考答案

解题思路：需要分别求分母为零的点和分子为零的点。

详细步骤：

求定义域：
- 分母 $x - 2 = 0$ 时， $x = 2$
- 因此定义域为： $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$
求零点：
- 分子 $x^2 - 1 = 0$ 时， $x^2 = 1$ ，所以 $x = \pm 1$
- 检查 $x = \pm 1$ $x = \pm 1$ 是否在定义域内：
  - $x = 1$ 在定义域内
  - $x = -1$ 在定义域内
- 因此零点为： $x = 1$ 和 $x = -1$

答案：

求函数 $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}$ 的水平渐近线。

参考答案

解题思路：比较分子和分母的最高次项系数。

详细步骤：

分析分子分母的次数：
- 分子： $2x^2 + 3x - 1$ ，最高次项为 $2x^2$ ，系数为 2
- 分母： $x^2 + 1$ ，最高次项为 $x^2$ ，系数为 1
比较次数：
- 分子次数 $n = 2$
- 分母次数 $m = 2$
- 因为 $n = m$ ，所以有水平渐近线
计算渐近线方程：
- $y = \frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{1} = 2$

答案：水平渐近线为 $y = 2$

求函数 $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ 的定义域和零点。

参考答案

解题思路：需要分别求分母为零的点和分子为零的点。

详细步骤：

求定义域：
- 分母 $x^2 - 4 = 0$ 时， $x^2 = 4$ ，所以 $x = \pm 2$
- 因此定义域为： $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pm 2\}$
求零点：
- 分子 $x^3 - 8 = 0$ 时， $x^3 = 8$ ，所以 $x = 2$
- 检查 $x = 2$ $x = 2$ 是否在定义域内：
  - $x = 2$ 不在定义域内（因为分母为零）
- 因此没有零点

答案：

求函数 $f(x) = \frac{3x + 1}{x^2 + 2x + 1}$ 的水平渐近线。

参考答案

解题思路：比较分子和分母的最高次项系数。

详细步骤：

分析分子分母的次数：
- 分子： $3x + 1$ ，最高次项为 $3x$ ，次数为 1
- 分母： $x^2 + 2x + 1$ ，最高次项为 $x^2$ ，次数为 2
比较次数：
- 分子次数 $n = 1$
- 分母次数 $m = 2$
- 因为 $n < m$ ，所以有水平渐近线
确定渐近线方程：
- 当 $n < m$ 时，水平渐近线为 $y = 0$

答案：水平渐近线为 $y = 0$