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复合函数

复合函数

复合函数是函数运算中的重要概念,它描述了函数的嵌套组合关系。

定义

复合函数:若 y=f(u)y = f(u),而 u=g(x)u = g(x),则 y=f[g(x)]y = f[g(x)] 称为由 ffgg 构成的复合函数,记作 fgf \circ g

性质

复合函数具有以下重要性质:

  • 定义域:复合函数的定义域是使得 g(x)g(x) 有定义且 f(g(x))f(g(x)) 有意义的 x 的集合
  • 交换律:复合运算不满足交换律:fggff \circ g \neq g \circ f
  • 结合律:复合运算满足结合律:(fg)h=f(gh)(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)

例子

常见的复合函数例子:

  • f(x)=sin(x2)f(x) = \sin(x^2)f(u)=sinuf(u) = \sin ug(x)=x2g(x) = x^2 的复合
  • f(x)=exf(x) = e^{\sqrt{x}}f(u)=euf(u) = e^ug(x)=xg(x) = \sqrt{x} 的复合
  • f(x)=ln(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1)f(u)=lnuf(u) = \ln ug(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 的复合

求复合函数定义域的方法

  1. 第一步:求内层函数 g(x)g(x) 的定义域
  2. 第二步:求外层函数 f(u)f(u) 的定义域
  3. 第三步:求使得 g(x)g(x) 的值属于 f(u)f(u) 定义域的 x 的范围

复合函数的求导

复合函数的导数可以通过链式法则求得:

ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

练习题

练习 1

求复合函数 f(x)=ln(x2+1)f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1}) 的定义域。

参考答案

解题思路: 需要分别考虑内层函数 x2+1\sqrt{x^2 + 1} 和外层函数 lnu\ln u 的定义域。

详细步骤

  1. 内层函数 x2+1\sqrt{x^2 + 1} 的定义域:x2+10x^2 + 1 \geq 0,这对所有实数 x 都成立
  2. 外层函数 lnu\ln u 的定义域:u>0u > 0,即 x2+1>0\sqrt{x^2 + 1} > 0
  3. 由于 x2+11>0x^2 + 1 \geq 1 > 0,所以 x2+1>0\sqrt{x^2 + 1} > 0 对所有实数 x 都成立

答案:定义域为 R\mathbb{R}(全体实数)。

练习 2

求复合函数 f(x)=sin(lnx)f(x) = \sin(\ln x) 的定义域。

参考答案

解题思路: 需要分别考虑内层函数 lnx\ln x 和外层函数 sinu\sin u 的定义域。

详细步骤

  1. 内层函数 lnx\ln x 的定义域:x>0x > 0
  2. 外层函数 sinu\sin u 的定义域:uRu \in \mathbb{R},对所有实数都有定义
  3. 因此复合函数的定义域就是内层函数的定义域

答案:定义域为 (0,+)(0, +\infty)

练习 3

求复合函数 f(x)=1x1f(x) = \sqrt{\frac{1}{x-1}} 的定义域。

参考答案

解题思路: 需要分别考虑内层函数 1x1\frac{1}{x-1} 和外层函数 u\sqrt{u} 的定义域。

详细步骤

  1. 内层函数 1x1\frac{1}{x-1} 的定义域:x1x \neq 1
  2. 外层函数 u\sqrt{u} 的定义域:u0u \geq 0,即 1x10\frac{1}{x-1} \geq 0
  3. 解不等式 1x10\frac{1}{x-1} \geq 0
    • x1>0x-1 > 0 时,1x1>00\frac{1}{x-1} > 0 \geq 0,成立
    • x1<0x-1 < 0 时,1x1<0\frac{1}{x-1} < 0,不成立
  4. 所以 x1>0x-1 > 0,即 x>1x > 1

答案:定义域为 (1,+)(1, +\infty)

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