复合函数
复合函数
复合函数是函数运算中的重要概念,它描述了函数的嵌套组合关系。
定义
复合函数:若 ,而 ,则 称为由 和 构成的复合函数,记作 。
性质
复合函数具有以下重要性质:
- 定义域:复合函数的定义域是使得 有定义且 有意义的 x 的集合
- 交换律:复合运算不满足交换律:
- 结合律:复合运算满足结合律:
例子
常见的复合函数例子:
- 是 和 的复合
- 是 和 的复合
- 是 和 的复合
求复合函数定义域的方法
- 第一步:求内层函数 的定义域
- 第二步:求外层函数 的定义域
- 第三步:求使得 的值属于 定义域的 x 的范围
复合函数的求导
复合函数的导数可以通过链式法则求得:
练习题
练习 1
求复合函数 的定义域。
参考答案
解题思路: 需要分别考虑内层函数 和外层函数 的定义域。
详细步骤:
- 内层函数 的定义域:,这对所有实数 x 都成立
- 外层函数 的定义域:,即
- 由于 ,所以 对所有实数 x 都成立
答案:定义域为 (全体实数)。
练习 2
求复合函数 的定义域。
参考答案
解题思路: 需要分别考虑内层函数 和外层函数 的定义域。
详细步骤:
- 内层函数 的定义域:
- 外层函数 的定义域:,对所有实数都有定义
- 因此复合函数的定义域就是内层函数的定义域
答案:定义域为 。
练习 3
求复合函数 的定义域。
参考答案
解题思路: 需要分别考虑内层函数 和外层函数 的定义域。
详细步骤:
- 内层函数 的定义域:
- 外层函数 的定义域:,即
- 解不等式 :
- 当 时,,成立
- 当 时,,不成立
- 所以 ,即
答案:定义域为 。