复合函数

复合函数

复合函数是函数运算中的重要概念，它描述了函数的嵌套组合关系。

定义

复合函数的定义

若 $y = f(u)$，而 $u = g(x)$，则 $y = f[g(x)]$ 称为由 $f$ 和 $g$ 构成的复合函数，记作 $f \circ g$。

性质

复合函数具有以下重要性质：

• 定义域：复合函数的定义域是使得 $g(x)$ 有定义且 $f(g(x))$ 有意义的 x 的集合
• 交换律：复合运算不满足交换律：$f \circ g \neq g \circ f$
• 结合律：复合运算满足结合律：$(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$

例子

常见的复合函数例子：

• $f(x) = \sin(x^2)$ 是 $f(u) = \sin u$ 和 $g(x) = x^2$ 的复合
• $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ 是 $f(u) = e^u$ 和 $g(x) = \sqrt{x}$ 的复合
• $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 是 $f(u) = \ln u$ 和 $g(x) = x^2 + 1$ 的复合

求复合函数定义域的方法

1. 第一步：求内层函数 $g(x)$ 的定义域
2. 第二步：求外层函数 $f(u)$ 的定义域
3. 第三步：求使得 $g(x)$ 的值属于 $f(u)$ 定义域的 x 的范围

复合函数的求导

复合函数的导数可以通过链式法则求得：

$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

练习题

练习 1

求复合函数 $f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1})$ 的定义域。

参考答案

解题思路： 需要分别考虑内层函数 $\sqrt{x^2 + 1}$ 和外层函数 $\ln u$ 的定义域。

详细步骤：

1. 内层函数 $\sqrt{x^2 + 1}$ 的定义域：$x^2 + 1 \geq 0$，这对所有实数 x 都成立
2. 外层函数 $\ln u$ 的定义域：$u > 0$，即 $\sqrt{x^2 + 1} > 0$
3. 由于 $x^2 + 1 \geq 1 > 0$，所以 $\sqrt{x^2 + 1} > 0$ 对所有实数 x 都成立

答案：定义域为 $\mathbb{R}$（全体实数）。

练习 2

求复合函数 $f(x) = \sin(\ln x)$ 的定义域。

参考答案

解题思路： 需要分别考虑内层函数 $\ln x$ 和外层函数 $\sin u$ 的定义域。

详细步骤：

1. 内层函数 $\ln x$ 的定义域：$x > 0$
2. 外层函数 $\sin u$ 的定义域：$u \in \mathbb{R}$，对所有实数都有定义
3. 因此复合函数的定义域就是内层函数的定义域

答案：定义域为 $(0, +\infty)$。

练习 3

求复合函数 $f(x) = \sqrt{\frac{1}{x-1}}$ 的定义域。

参考答案

解题思路： 需要分别考虑内层函数 $\frac{1}{x-1}$ 和外层函数 $\sqrt{u}$ 的定义域。

详细步骤：

1. 内层函数 $\frac{1}{x-1}$ 的定义域：$x \neq 1$
2. 外层函数 $\sqrt{u}$ 的定义域：$u \geq 0$，即 $\frac{1}{x-1} \geq 0$
3. 解不等式 $\frac{1}{x-1} \geq 0$：
   • 当 $x-1 > 0$ 时，$\frac{1}{x-1} > 0 \geq 0$，成立
   • 当 $x-1 < 0$ 时，$\frac{1}{x-1} < 0$，不成立
4. 所以 $x-1 > 0$，即 $x > 1$

答案：定义域为 $(1, +\infty)$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x)$	数学符号	f of x	函数记号，表示以 $x$ 为自变量的函数
$f(u)$	数学符号	f of u	外层函数，以 $u$ 为自变量
$g(x)$	数学符号	g of x	内层函数，以 $x$ 为自变量
$f[g(x)]$	数学符号	f of g of x	复合函数，$f$ 和 $g$ 的复合
$f \circ g$	数学符号	f composed with g	复合函数记号
$f'(x)$	数学符号	f prime of x	函数的一阶导数
$f'(g(x))$	数学符号	f prime of g of x	外层函数在内层函数值处的导数
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集，所有实数的集合
$(a, +\infty)$	数学符号	开区间	左开右无穷区间

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
复合函数	composite function	/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃən/	由两个或多个函数嵌套组合而成的函数
外层函数	outer function	/ˈaʊtə ˈfʌŋkʃən/	复合函数中位于外层的函数
内层函数	inner function	/ˈɪnə ˈfʌŋkʃən/	复合函数中位于内层的函数
交换律	commutative law	/kəˈmjuːtətɪv lɔː/	运算满足交换的性质
结合律	associative law	/əˈsəʊʃɪətɪv lɔː/	运算满足结合的性质
链式法则	chain rule	/tʃeɪn ruːl/	复合函数求导的法则
嵌套	nesting	/ˈnestɪŋ/	函数的多层组合

下一章节 反函数 学习反函数的定义、性质和求法，掌握反函数与原函数的关系。