函数的有界性

定义

函数的有界性

有界函数（Bounded Function）：若存在常数 $M$ ，使得对任意 $x \in D$ ，总有 $|f(x)| \leq M$ ，则称函数 $f(x)$ 在 $D$ 上有界。

几何意义

有界函数的图像被限制在两条水平线之间，即存在水平带，使得函数图像完全位于这个带内。

例子

$f(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界，因为 $|\sin x| \leq 1$
$f(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上有下界（0），但无上界
$f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上无界

$\mathbb{R}$ （双线体 R）：这是数学中的标准符号，表示实数集（Real numbers），即所有实数的集合。双线体（blackboard bold）是数学中专门用来表示数集的字体风格。

判断方法

直接法：通过观察函数表达式，判断其值域范围
求导法：对于连续函数，可以通过求导找到极值点
不等式法：利用已知的不等式关系进行判断

其中，求导法你可能不知道，没关系，在学微积分时会学到。

重要性质

有界函数的运算性质

有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数

证明

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是有界函数，存在常数 $M_1, M_2$ 使得 $|f(x)| \leq M_1$ ， $|g(x)| \leq M_2$ 。

和的性质： $|f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \leq M_1 + M_2$
差的性质： $|f(x) - g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \leq M_1 + M_2$
积的性质： $|f(x) \cdot g(x)| \leq M_1 \cdot M_2$

因此，和、差、积运算都保持函数的有界性。

有界函数与常数的运算性质

有界函数与常数的积仍为有界函数

证明

设 $f(x)$ 是有界函数，存在常数 $M$ 使得 $|f(x)| \leq M$ ， $k$ 为任意常数。

性质证明： $|k \cdot f(x)| = |k| \cdot |f(x)| \leq |k| \cdot M$

因此，有界函数与常数的积仍为有界函数，新界为 $|k| \cdot M$ 。

有界性定理

连续函数在闭区间上必有界

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，即存在常数 $M > 0$ ，使得对一切 $x \in [a, b]$ ，都有 $|f(x)| \leq M$ 。

证明

证明：使用反证法。

假设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，但在 $[a, b]$ 上无界。

那么，对于任意大的正数 $M$ ，都存在 $x_M \in [a, b]$ ，使得 $|f(x_M)| > M$ 。

取 $M = 1, 2, 3, \dots$ ，得到序列 $\{x_n\}$ ，其中 $x_n \in [a, b]$ 且 $|f(x_n)| > n$ 。

由于 $[a, b]$ 是有界闭区间，序列 $\{x_n\}$ 有收敛子序列。不妨设 $\{x_{n_k}\}$ 收敛于 $x_0 \in [a, b]$ 。

因为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，所以 $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)$ 。

但另一方面， $|f(x_{n_k})| > n_k \to +\infty$ ，这与极限存在矛盾。

因此，原假设不成立，即 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。

另一种证明方法（使用最值定理）：

连续函数在闭区间上必有最大值和最小值，因此函数值有上界和下界，即函数有界。

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的有界性。

参考答案(3 个标签)

有界性函数值域不等式

解题思路：需要分析函数的值域范围，看是否存在上下界。

详细步骤：

分析函数表达式： $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$
当 $x = 0$ 时， $f(0) = 0$
当 $x \neq 0$ 时， $f(x) = \frac{1}{x + \frac{1}{x}}$
利用不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ （当 $x > 0$ ）或 $x + \frac{1}{x} \leq -2$ （当 $x < 0$ ）
因此 $|f(x)| \leq \frac{1}{2}$

答案：该函数在 $\mathbb{R}$ 上有界，上界为 $\frac{1}{2}$ ，下界为 $-\frac{1}{2}$ 。

练习 2

判断函数 $f(x) = \ln x$ 在 $(0, 1]$ 上的有界性。

参考答案(3 个标签)

有界性对数函数单调性

解题思路：分析对数函数在给定区间上的取值范围。

详细步骤：

$\ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递增
当 $x \to 0^+$ 时， $\ln x \to -\infty$
当 $x = 1$ 时， $\ln 1 = 0$
因此在 $(0, 1]$ 上，函数值范围为 $(-\infty, 0]$

答案：该函数在 $(0, 1]$ 上有上界（0），但无下界，因此不是有界函数。

练习 3

判断函数 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上的有界性。

参考答案(3 个标签)

有界性三角函数极限

解题思路：需要分析三角函数与线性函数比值的性质，判断其是否有界。

详细步骤：

当 $0<x\leq1$ 时，标准不等式 $|\sin x|\leq x$ 成立；当 $x\geq1$ 时， $|\sin x|\leq1\leq x$ 。
因此对所有 $x>0$ 都有： $\left|\frac{\sin x}{x}\right|=\frac{|\sin x|}{x}\leq1$
另外， $\frac{\sin x}{x}\to1$ （ $x\to0^+$ ），且 $\frac{\sin x}{x}\to0$ （ $x\to+\infty$ ），与上述全局估计一致。

答案：该函数在 $(0, +\infty)$ 上有界， $|f(x)| \leq 1$ 。

练习 4

设函数 $f(x) = x^2 - 2x + 3$ ，判断该函数在区间 $[0, 3]$ 上的有界性，并求出其上确界和下确界。

参考答案(4 个标签)

有界性二次函数配方法最值

解题思路：这是一个二次函数在闭区间上的有界性问题。可以通过配方法或求导法找到函数的最值。

详细步骤：

首先对函数进行配方： $f(x) = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2$
从配方结果可以看出：
- 当 $x = 1$ 时， $(x-1)^2 = 0$ ，函数取得最小值 $f(1) = 2$
- 由于 $(x-1)^2 \geq 0$ ，所以 $f(x) \geq 2$
在区间 $[0, 3]$ 上分析端点值：
- $f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3$
- $f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3 = 6$
比较函数在驻点和端点的值：
- 最小值： $f(1) = 2$
- 最大值： $f(3) = 6$
因此在区间 $[0, 3]$ 上：
- 下确界（最小值）为 2
- 上确界（最大值）为 6

答案：该函数在 $[0, 3]$ 上有界，下确界为 2，上确界为 6。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x)$	数学符号	f of x	函数记号，表示以 $x$ 为自变量的函数
$D$	数学符号	D	函数的定义域
$M$	数学符号	M	上界常数，表示函数值的上限
$m$	数学符号	m	下界常数，表示函数值的下限
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集，所有实数的集合
$[a, b]$	数学符号	闭区间	包含端点的区间记号
$(a, b)$	数学符号	开区间	不包含端点的区间记号
$(a, b]$	数学符号	半开区间	左开右闭区间记号
$\sin x$	数学符号	sine x	正弦函数
$\ln x$	数学符号	natural logarithm of x	自然对数函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
有界性	boundedness	/ˈbaʊndɪdnəs/	函数值被限制在某个范围内的性质
有界函数	bounded function	/ˈbaʊndɪd ˈfʌŋkʃən/	函数值有上下界限制的函数
上界	upper bound	/ˈʌpə baʊnd/	函数值的上限
下界	lower bound	/ˈləʊə baʊnd/	函数值的下限
上确界	supremum	/suːˈpriːməm/	函数在给定区间上的最小上界
下确界	infimum	/ˈɪnfɪməm/	函数在给定区间上的最大下界
几何意义	geometric meaning	/ˌdʒiːəˈmetrɪk ˈmiːnɪŋ/	数学概念在几何图形中的表现
单调递增	monotonically increasing	/ˌmɒnəʊˈtɒnɪkli ɪnˈkriːsɪŋ/	函数值随自变量增大而增大
闭区间	closed interval	/kləʊzd ˈɪntəvəl/	包含端点的区间